1、5.3.3最大值与最小值基础过关练题组一函数最大(小)值的概念及其求解1.(多选)设f(x)是区间a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论不正确的是()A. f(x)的极值点一定是最值点B. f(x)的最值点一定是极值点C. f(x)在区间a,b上可能没有极值点D. f(x)在区间a,b上可能没有最值点2.(2020江苏无锡太湖高级中学高二下期中)函数f(x)=12x-x3在区间-3,1上的最小值是()A.-16B.-18C.11D.-93.(2020江苏南京临江高级中学高二下质检)函数f(x)=x+2cos x在0,2上的最大值为()A.2B.6+3C.3+1D.3+34.如图是
2、函数y=f(x)在区间a,b上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f(x)=x3-12x+6,x-3,3的单调区间,并求函数f(x)的最值.题组二含参函数的最大(小)值问题6.若函数f(x)=asin x+13sin 3x在x=3处有最大(小)值,则a等于()A.2B.1C.233D.07.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 ()A.(0,3)B.(-3,0)C.(-,-3)D.(3,+)8.(2020江苏泰州中学高二下第二次月考)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数
3、)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值是()A.-37B.-2C.-5D.-109.(2020浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.10.(2020江苏无锡大桥实验学校高二下期中)已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线l与直线3x-y=0平行,求切线l的方程;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m0成立,则实数m的最小值为()A.2B.-2C.1D
4、.-112.已知函数f(x)=lna+lnxx在区间1,+)上为减函数,则实数a的取值范围为.13.(2020江苏常州教学联盟高二下联考)已知函数f(x)=2x+1xex.(e是自然对数的底数,e2.718 28)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=f(x)-2x-1,求证:当x0时,h(x)0.14.(2020江苏南京江宁高级中学高二下期中)已知曲线y=f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)过点P(1,2),且曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=8x+1平行.(1)求a,b的值;(2)若f(x)m+5m在-1,1上恒成立,求正数m的取值范围.题组四利用导数解决生活中的
5、优化问题15.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x0),要使利润最大,则应生产该产品()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8 300-170M-M2,则该批材料零售价定为元时利润最大,最大利润为元.17.将一块2 m6 m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求至全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的水箱,设水箱
6、的高为x m,容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?18.(2020江苏宿迁宿豫中学高二月考)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为14万元/辆,年销售量为m(mN*)辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x0,t为常数),则当x为何值时,本年度的年利润最大?能力提升练题组一函数最值问题的求解与应用1.(2020江苏盐城东台创新高级中学高二下4月检测,)直线y=a分别与直线y=2(x+1),曲线y=x+ln x交于A,B,则AB的最小值为()A.32B.2C.3
7、24D.32.(2020重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表:x-1045f(x)1221y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的结论:函数f(x)是周期函数;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a1时, f(x)在(0,)上()A.有最大值B.有最小值C.没有最小值D.没有最大值4.(2020湖南师大附中高二期末,)已知函数f(x)=x2+ax+1ex,其中e为自然对数的底数,a为实数.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a-1时,求函
8、数f(x)在区间-1,2上的最大值.题组二含参函数的最大(小)值问题5.(2020广东揭阳高二下期末,)若函数f(x)=13x3+x2-1在区间(m,m+3)上存在最小值,则实数m的取值范围是()A.-5,0)B.(-5,0)C.-3,0)D.(-3,0)6.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=xx2+a(a0)在1,+)上的最大值为33,则a的值为()A.3-1B.34C.43D.3+17.(2020江苏扬州高二下期中,)设函数f(x)=x3-3x,xa,-2x,xa,若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.8.()已知函数f(x)=-2a2ln x+12x2+ax(
9、aR).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a0,1,x0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是0,eD.值域是R的函数f(x)不存在承托函数11.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=sin x-1,g(x)=a2ln x-x,若对任意x1R,都存在x2(1,e),使得f(x1)-1.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)的单调区间
10、;(3)若f(x)12x2+x+b对任意xR恒成立,求b-a的最大值.13.(2020江苏镇江丹阳吕叔湘中学高二下4月诊断,)已知函数f(x)=x(1+ln x).(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)若kZ,且k(x-1)1恒成立,求k的最大值.题组四利用导数解决生活中的优化问题14.(2020江苏连云港东海二中高二下月考,)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的容积最大时,其底面边长为()A.34B.23C.13D.1215.()某公司生产某种产品,固定成本为2
11、0 000元,每生产1万吨该产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)=400x-12x2,0x400,80 000,x400,则总利润最大时,年产量是()A.100万吨B.150万吨C.200万吨D.300万吨16.()某厂生产x件某种产品的总成本为c(x)=1 200+275x3万元,已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.17.(2021江苏淮安五校高三上联考,)如图,公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上,AB为直径),现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取
12、一点C,道路上B点的右边取一点D,使OC垂直于CD,且OD的长不超过20米.在扇形区域AOC内种植花卉,三角形区域COD内铺设草皮.已知种植花卉的费用为200元/平方米,铺设草皮的费用为100元/平方米.(1)设COD=x(单位:弧度),求总费用y(单位:元)关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;(2)当x为何值时,总费用最低?并求出最低费用.答案全解全析基础过关练1.ABD根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D中结论都不正确.故选ABD.2.A因为f(x)=12x-x3,所以f(x)=12-3x2,由f(x)0得-2x2,由f(x)2或x-2,又-3x1,所以当-3x-2时,f(x)
13、0,函数f(x)=12x-x3单调递减,当-20,函数f(x)=12x-x3单调递增,因此f(x)min=f(-2)=-24+8=-16,故选A.3.Bf(x)=x+2cos x,f(x)=1-2sin x,由f(x)0得sin x12,x0,2,x0,6,当x0,6时,函数f(x)单调递增.由f(x)12,x0,2,x6,2,当x6,2时,函数f(x)单调递减.x=6是函数f(x)在0,2上的极大值点,也为最大值点,最大值为f6=6+2cos 6=6+232=6+3,故选B.4.解析由题图可知y=f(x)在x=x1,x=x3处取得极小值,在x=x2处取得极大值,所以极小值为f(x1), f(
14、x3),极大值为f(x2).比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在x=b处取得,最大值为f(b).5.解析依题意得f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)1522-10-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.Af(x)在x=3处有最大(小)值,x=3是函数f(x)的极值点.又f(x)=acos x+cos 3x(xR),f3=acos 3+cos =0,解
15、得a=2.7.A由题意得f(x)=-3x2+2mx,令f(x)=0,得x=2m3或x=0(舍去),因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值,所以2m3(0,2),即02m32,所以0m3.8.A因为f(x)=2x3-6x2+m,所以f(x)=6x2-12x=6x(x-2),则f(x)在-2,0)上单调递增,在(0,2上单调递减,故f(x)max=f(0)=m=3,则f(x)=2x3-6x2+3,故f(x)min=minf(-2),f(2)=min-37,-5=-37.故选A.9.答案(0,1)解析由题意得, f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,得x2=a.x(0,1),要使f(x)在
16、(0,1)内有最小值,只需0a1,即0a1.当0xa时, f(x)0,当ax0,当x=a时f(x)取得极小值,也是最小值,a的取值范围是(0,1).10.解析(1)因为f(x)=x2(x-a)=x3-ax2,所以f(x)=3x2-2ax,所以f(1)=3-2a,由题可知f(1)=3,则a=0,所以f(x)=x3,则f(1)=1,故切点为(1,1),曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率k=3,故切线l的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)f(x)=3x2-2ax=3xx-2a3,令f(x)=0,解得x=0或x=2a3.当2a30,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,所以f(
17、x)max=f(2)=8-4a.当2a32,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,所以f(x)max=f(0)=0.当02a32,即0a3时,f(x)在0,2a3上单调递减,在2a3,2上单调递增,且f(2)=8-4a,f(0)=0,故当0a2时,f(2)-f(0)0,即f(x)max=f(2);当2a3时,f(2)-f(0)0,即f(x)max=f(0).综上所述,f(x)在区间0,2上的最大值f(x)max=0,a2,+),8-4a,a(-,2).11.C由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)=2x-2x.令f(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).当x(0,1)时, f(
18、x)0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1.由题意知m1,因此实数m的最小值为1.12.答案e,+)解析由题意得, f(x)=1xx-(lna+lnx)x2=1-(lna+lnx)x2.因为f(x)在1,+)上为减函数,所以f(x)0在1,+)上恒成立,即ln a1-ln x在1,+)上恒成立,令g(x)=1-ln x,易知函数g(x)=1-ln x在区间1,+)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,故ln a1,即ae.13.解析(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),f(x)=2x2+x-1x2ex=(2x-1)(x+1)x2ex.令f
19、(x)0,解得x12,所以f(x)的单调递增区间为(-,-1),12,+;令f(x)0,解得-1x0或0x0,所以g(x)g(1)0.因为当x0时,2x+10,所以h(x)=(2x+1)exx-10对x0都成立.14.解析(1)f(x)=x3+ax2+bx,f(x)=3x2+2ax+b,由已知得f(1)=2,f(1)=8,即1+a+b=2,3+2a+b=8,解得a=4,b=-3,(2)由(1)知f(x)=x3+4x2-3x,若f(x)m+5m在-1,1上恒成立,则f(x)maxm+5m,x-1,1.易得f(x)=3x2+8x-3,令f(x)0,解得x13或x-3,f(x)在13,+和(-,-3
20、)上单调递增;令f(x)0,解得-3x0,得m2-6m+50,解得m5或00),则y=-6x2+36x=-6x(x-6).令y=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,故应生产该产品6千台.16.答案30;23 000解析设该商品的利润为y元,由题意知,y=N(M-20)=-M3-150M2+11 700M-166 000,则y=-3M2-300M+11 700,令y=0,得M=30或M=-130(舍去),当M(0,30)时,y0,当M(30,+)时,y0,因此当M=30时,y取得极大值,也是最大值,且ymax=23 000.17.解析(1)由水箱的
21、高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为6-2x2=(3-x)m,故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0x1).(2)由(1)得y=6x2-16x+6,令y=0,解得x=4+73(舍去)或x=4-73,所以y=2x3-8x2+6x(0x1)在0,4-73上单调递增,在4-73,1上单调递减,所以当x=4-73时,水箱的容积最大.18.信息提取(1)某品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为14万元/辆,年销售量为m(mN*)辆;(2)每辆车投入成本增加的比例为x(0x0,t为常数).数学建模本题以汽车销售利润为背景构建函数模型,将实际生活中的利润最大问题转
22、化为函数的最大值问题,再利用导数求该函数的最值.对于(1),先求出本年度的年利润,再列出不等式得到x的取值范围;对于(2)要使本年度的年利润最大,首先写出本年度年利润的函数表达式,然后求出此函数的导数为零时x的值,由此判断出函数的单调性,进而求出x的值.解析(1)由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元,出厂价为14(1+0.6x)万元,年销售量为m(1+0.5x)辆.设本年度的年利润为f(x)万元,则f(x)=14(1+0.6x)-10(1+x)m(1+0.5x) =(-0.8x2+0.4x+4)m,0x4m,mN*,0x1,得0x0, g(x)单调递增,当x23,1时, g(x
23、)0, g(x)单调递减,故当x=23时,本年度的年利润最大.能力提升练1.A设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+ln x2,x1=12(x2+ln x2)-1,AB=x2-x1=12(x2-ln x2)+1,令y=12(x-ln x)+1,则y=121-1x,函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,x=1时,函数取得极小值,也是最小值,最小值为32.故选A.2.A由函数f(x)的定义域为-1,5,知函数y=f(x)不是周期函数,故错误;由题图知在0,2上,f(x)0,故f(x)在0,2上是减函数,故正确;依题意可画出函数y=f(x)的大致图象,如图所示:如果
24、当x-1,t时, f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5,故错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故当1a1),在同一平面直角坐标系中作出y1=x,y2=asin x(a1)在(0,)上的大致图象,如图.当0xx0时,y1y2,即f(x)=x-asin x0,故f(x)单调递减;当x0xy2,即f(x)=x-asin x0,故f(x)单调递增;当x=x0时,y1=y2,即f(x)=x-asin x=0,此时f(x)取得极小值,也是最小值.综上,f(x)=12x2+acos x在(0,)上有最小值,没有最大值.4.解析(1)当a=1时, f(x)=x2+x+1ex,则f(x)=-x(x-1)e
25、x.由f(x)0,ex0,得x(x-1)0,即0x1;由f(x)0,得x(x-1)0,即x1.所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(-,0)和(1,+).(2)易得f(x)=-(x-1)x-(1-a)ex.因为a-1,所以1-a2.当11-a2,即-1a0,得1x1-a,由f(x)0,得-1x1或1-ax2,则f(x)在(1,1-a)上单调递增,在-1,1)和(1-a,2上单调递减,所以f(x)max=maxf(-1), f(1-a).因为f(-1)=(2-a)e, f(1-a)=(1-a)2+a(1-a)+1e1-a=(2-a)ea-1,且-1af(1-a),所以f(x)m
26、ax=(2-a)e.当1-a=1,即a=0时, f(x)=-(x-1)2ex0,所以f(x)在-1,2上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=(2-a)e.当-11-a1,即0a0,得1-ax1,由f(x)0,得-1x1-a或1x2,则f(x)在(1-a,1)上单调递增,在-1,1-a)和(1,2上单调递减,所以f(x)max=maxf(-1), f(1),因为f(1)-f(-1)=2+ae+(a-2)e=a(1+e2)-2(e2-1)e,所以当0af(1),此时f(x)max=f(-1)=(2-a)e,当2(e2-1)e2+1a2时, f(1)f(-1),此时f(x)max=f(1)=2
27、+ae.当1-a-1,即a2时, f(x)在-1,1)上单调递增,在(1,2上单调递减,则f(x)max=f(1)=2+ae.综上, f(x)max=(2-a)e,-1a2(e2-1)e2+1,a+2e,a2(e2-1)e2+1.5.D函数f(x)=13x3+x2-1的导函数为f(x)=x2+2x,令f(x)=0,得x=-2或x=0,故f(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,则x=0为极小值点,x=-2为极大值点.由f(x)在区间(m,m+3)上存在最小值,可得m0m+3,解得-3m-1=f(0),因此实数m的取值范围是(-3,0),故选D.6.A由f(x)=x
28、x2+a得, f(x)=a-x2(x2+a)2,当a1时,若xa,则f(x)0, f(x)单调递减,若1x0, f(x)单调递增,故当x=a时,函数f(x)有最大值12a=33,解得a=341,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在1,+)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当0aa,令f(x)=0,则x=1,若f(x)无最大值,则a-1,-2aa3-3a或a-1,-2aa3-3a,-2a2,解得a0).若a=0,则f(x)=x0,故f(x)的单调递增区间为(0,+).若a0,则当x(0,-2a)时, f(x)0,故f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+
29、).若a0,则当x(0,a)时, f(x)0,则f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+).(3)由(2)知,当a0时, f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+).当-2a1,即-12a0时, f(x)在1,e上单调递增,则f(x)min=f(1)=12+a;当1-2ae,即-e2a-12时, f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增,则f(x)min=f(-2a)=-2a2ln(-2a);当-2ae,即a-e2时, f(x)在1,e上单调递减,则f(x)min=f(e)=-2a2+e22+ae.综上,f(x)min=12+a
30、,-12a0,-2a2ln(-2a),-e2a0时, f(x)=ln x(-,+),f(x)g(x)=-2不能对一切实数x都成立,故A错误.B中,令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+10,t(x)0对一切实数x都成立,函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确.C中,令h(x)=ex-ax,则h(x)=ex-a,当a=0时,由题意知,结论成立.当a0时,令h(x)=0,得x=ln a,函数h(x)在(-,ln a)上为减函数,在(ln a,+)上为增函数,当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,最小值
31、为a-aln a,g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,a-aln a0,ln a1,0ae.若a0,则当x-时,h(x)-,故不成立.综上,当0ae时,函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,故C正确.D中,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=10恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC.11.答案(2e,+)解析因为对任意x1R,都存在x2(1,e),使得f(x1)g(x2)成立,所以f(x)max0,此时ln x0,所以a0,因此问题可转化为存在x(1,e),使2alnxx成立.设h(x)=lnx
32、x,x(1,e),则2a0,h(x)单调递增,所以h(x)h(e)=1e,即2a2e,所以实数a的取值范围是(2e,+).方法总结一般地,已知函数y=f(x),xa,b,y=g(x),xc,d,且f(x),g(x)均存在最值,则有:(1)若x1a,b,x2c,d,总有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)min;(2)若x1a,b,x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max;(3)若x1a,b,x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)min0时, f(x)0, f(x)单调递增,当x0时, f(x)-1).当x变化时,g(x)与g(x)的变化情
33、况如下表所示:x(-,ln(a+1)ln(a+1)(ln(a+1),+)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在(-,ln(a+1)上单调递减,在(ln(a+1),+)上单调递增.所以函数g(x)的极小值,也是最小值,为g(ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.由题意,得g(ln(a+1)0,即 b-a1-(a+1)ln(a+1).设h(x)=1-xln x(x0),则h(x)=-ln x-1.因为当0x0;当x1e时,-ln x-10,得x1e2;令f(x)0,得0x1e2,所以f(x)的单调递增区间为1e2,+,f(x)的单调递减区间为0,1e2. 所以当x=1e2时
34、,函数取得极小值,极小值为f1e2=1e21+ln 1e2=-1e2,无极大值.(3)若k(x-1)1恒成立,则k1恒成立. 令g(x)=x+xlnxx-1(x1),则g(x)=x-lnx-2(x-1)2(x1), 令h(x)=x-ln x-2(x1),则h(x)=1-1x=x-1x0,所以函数h(x)在(1,+)上单调递增. 因为h(3)=1-ln 30,所以方程h(x)=0在(1,+)上存在唯一实根x0,且满足ln x0=x0-2,x0(3,4).当1xx0时,h(x)0,即g(x)x0时,h(x)0,即g(x)0, 所以函数g(x)=x+xlnxx-1在(1,x0)上单调递减,在(x0,
35、+)上单调递增,所以g(x)min=g(x0)=x0+x0ln x0x0-1=x0(1+x0-2)x0-1=x0(3,4). 所以k0;当x23,1时,V(x)400,即f(x)=300x-12x2-20 000,0x400,60 000-100x,x400,f(x)=300-x,0x400,-100,x400.当0x400时,令f(x)=0,得x=300,由f(x)0得0x400时,f(x)是减函数,f(x)0.设总利润为y万元,则y=500xx-1 200-275x3=500x-275x3-1 200,则y=250x-225x2.令y=0,得x=25.故当0x0;当x25时,y0.因此当x
36、=25时,函数y取得极大值,也是最大值.17.信息提取(1)点D在点B的右侧,且OC垂直于CD,OD的长不超过20米;(2)在扇形区域AOC内种植花卉,三角形区域COD内铺设草皮;(3)种植花卉的费用为200元/平方米,铺设草皮的费用为100元/平方米;(4)求出总费用y的函数,并求出y的最小值.数学建模本题以实际生活中的成本最省问题为背景,构建函数模型,利用导数求出函数的最值,从而求得最低成本.对于(1),分别计算扇形AOC和RtCOD的面积,再计算总费用,根据OD的长不超过20米得到x的取值范围;对于(2),利用导数求其最值.解析(1)因为扇形AOC的半径为10米,AOC=-x,当OD=2
37、0米时,x=3,所以0x3,所以S扇形AOC=(-x)1022=50(-x)平方米,0x3.在RtCOD中,OC=10米,则CD=10tan x米,所以SCOD=12OCCD=50tan x平方米,从而y=100SCOD+200S扇形AOC=5 000(tan x+2-2x)元,0x3.(2)设f(x)=tan x+2-2x,0x3,则f(x)=sinxcosx-2-2x,0x3,所以f(x)=cos 2x+sin 2xcos 2x-2=1-2cos2xcos 2x,0x3,令f(x)=0,解得x=4,从而当0x4时,f(x)0,当40,因此f(x)在区间0,4上单调递减,在区间4,3上单调递增,当x=4时,f(x)取得极小值,也是最小值,为f4=1+2-2=1+32,则ymin=5 0001+32=(5 000+7 500)元.所以当x为4时,总费用最低,最低费用为(5 000+7 500)元.
