1、1 定积分的概念01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、定积分的概念一般地，给定一个在区间a，b上的函数 yf(x)，其图像如图所示将a，b区间分成 n 份，分点为：ax0 x1x2xn1xnb.第 i 个小区间为xi1，xi，设其长度为 xi，在这个小区间上取一点 i，使 f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点 i，使 f(i)在区间xi1，xi的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，此时，S
2、 与s 同时趋于某一个固定的常数 A，我们就称 A 是函数 yf(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dxA.其中叫作_，a 叫作_，b 叫作，f(x)叫作_积分号积分的下限积分的上限被积函数二、定积分的几何、物理意义1当 f(x)0 时，abf(x)dx 表示的是与所围曲边梯形的面积；2当 f(x)表示速度关于时间 x 的函数时，abf(x)dx 表示的是运动物体从 xa 到 xb 时所走过的_yf(x)xa,xb 和 x 轴路程三、定积分的性质性质 1：ab1dx_；性质 2：abkf(x)dx_；性质 3：abfxgx dx；性质 4：abf(x)dx.bak
3、abf(x)dxabf(x)dxabg(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx双基自测1一物体沿直线运动，其速度 v(t)2t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间所走的路程为()A.13 B.12C1 D2解析：所走的路程为012tdt，由定积分的几何意义作图(图略)求得012tdt1.答案：C2下列式子中不成立的是()A2aasin xdx2aacos xdxB20 sin dx x20 cos dx xC.0sin xdx0cos xdxD.0|sin x|dx0|cos x|dx解析：分别作出被积函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 在各区间上的图像，由定积分的几何意义，
4、易得只有 C 选项不成立答案：C3若abf(x)dx3，abg(x)dx2，则abf(x)g(x)dx_.解析：由定积分的性质易得abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx325.5探究一 对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)例 1 求抛物线 yx2 与直线 x0，x1，y0 所围成的平面图形的面积 S.解析(1)分割：在区间0,1上等间隔地插入 n1 个点，将它等分成 n 个小区间：0，1n，1n，2n，n1n，1记第 i 个区间为i1n，in(i1,2，n)，其长度为 xini1n 1n.分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积记
5、作 S1，S2，Sn，则 Si1nSi.(2)近似代替：记 f(x)x2.当 n 很大，即 x 很小时，在区间i1n，in上，可以认为 f(x)x2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i1n 处的函数值 f(i1n)就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间i1n，in上，用小矩形的面积 Si近似地代替 Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSif(i1n)x(i1n)2x(i1n)21n(i1,2，n)(3)求和：由，得 Sni1nSii1nf(i1n)xi1n(i1n)21n01n(1n)21n(n1n)21n 1n31222(n1)
6、2 1n3nn12n1613(11n)(1 12n)从而得到 S 的近似值SSn13(11n)(1 12n)(4)取极限：分别将区间0,1等分成 8,16,20，等份时，可以看到随着 n 的不断增大，即 x越来越小时，Sn13(11n)(1 12n)越来越趋近于 S，而当 n 趋向于时，式无限趋近于13，即所求面积为13.用分割，近似代替，求和，取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为整(取极限)的思想方法1求由直线x1、x2、y0及曲线y 1x2围成的图形的面积S.解析：(1)分割：在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：1，n1n，n1
7、n，n2n，nn1n，2，记第i个区间为ni1n，nin(i1,2，n)，其长度为xnin ni1n1n.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为Si1nSi.(2)近似代替：记 f(x)1x2.当 n 很大，即 x 很小时，在区间ni1n，nin 上，可以认为 f(x)1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f(ni1nnin)从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间ni1n，nin 上，用小矩形面积 Si近似地代替 Si，即在局部小范围内“以直代曲”
8、，则有SiSif(ni1nnin)xn2ni1ni1nnni1ni(i1,2，n)(3)求和：小曲边梯形的面积和Sni1nSii1nSii1nnni1ninnn1nn1n2nnn1nnn(1n 1n1 1n1 1n21nn11nn)n(1n 12n)12.从而得到S的近似值SSn12.(4)取极限：分别将区间1,2等分成8,16,20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S12.由直线x1，x2，y0及曲线y 1x2围成的图形的面积S为12.探究二 用定积分的几何意义求定积分 例 2 用定积分的几何意义求ab xabxdx(b0)的值解析 令yf(x)xabx，则有xab22y2ba22，表示以
9、ab2，0为圆心，半径为 ba2的上半圆，而这个上半圆的面积为S 12 r2 2 ba22ba28，由定积分的几何意义可知，ab xabxdxba28.由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当 f(x)0 时，abf(x)dx 等于由直线 xa，xb，y0 与曲线 yf(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义(2)计算abf(x)dx 时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边，xa，xb，y0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值：当 f(x)0 时，abf(x)dxS；当 f(x)0 时，abf(x)dxS.
10、2用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)11 4x2dx(2)22sin xdx；(3)522(1sin)d.xx解析：(1)由 y 4x2可知 x2y24(y0)，其图像如图11 4x2dx等于圆心角为3的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和S 弓形123221222sin323 3，S 矩形ABBC2 3，121 4x dx2 323 323 3.(2)函数 ysin x 在 x2，2上是奇函数，22sin dx x0.(3)函数 y1sin x 的图像如图所示，522(1sin)dxxS 矩形 ABCD2.探究三 定积分性质的应用 例 3 已知01x3dx14，12x3dx
11、154，12x2dx73，24x2dx563，求：(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx.解析(1)02(3x3)dx302x3dx301x3dx12x3dx 314154 12.(2)14(6x2)dx614x2dx612x2dx24x2dx 673563 126.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算3已知0exdxe22，0ex2dxe33，求下列定积分的值：(1)0e(2xx2)dx；(2)0e(2x2x1)dx.
12、解析：(1)0e(2xx2)dx20exdx0ex2dx2e22e33e2e33.(2)0e(2x2x1)dx20ex2dx0exdx0e1dx，因为0exdxe22，0ex2dxe33，又由定积分的几何意义知：0e 1dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以0e1dx1ee，故0e(2x2x1)dx2e33e22e23e312e2e.因忽视定积分的几何意义而致误 例 4 定积分02(4x2)dx_.解析 曲线 y 4x2，即 x2y24(0 x2,0y2)，表示圆心在原点，半径为 2的圆在第一象限的圆弧和点(2,0)，(0,2)，02 4x2dx 表示被积函数 y 4x2在积分区间0,2上的图像与 x 轴围成的平面图形的面积 S14r2，即02 4x2dx，所以02(4x2)dx02 4x2dx.答案 错因与防范 本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为.对于定积分abf(x)dx，当 f(x)0 时，定积分就等于曲边梯形的面积；当 f(x)0 时，定积分等于曲边梯形面积的相反数；计算定积分时，常常运用定积分的性质 2，即abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数)，将被积函数中的系数调整位置以后再计算03 课后 巩固提升