1、第5章导数及其应用5.1导数的概念5.1.1平均变化率基础过关练题组一函数的平均变化率1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,x=0.1时,y=()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.(2020陕西西安中学高二下期中)函数y=f(x)=x2-1在区间1,m上的平均变化率为3,则实数m的值为()A.5B.4C.3D.23.(2020山西朔州应县一中高二下期末)在x=1附近,取x=0.3,则下列四个函数y=x;y=x2;y=x3;y=1x中,平均变化率最大的是.(填序号)4.若函数y=f(x)=-x2+x在2,2+x(x0)上的平均变化率不大于-1,求x的取值范围.题组二平
2、均变化率的应用5.(2020吉林东北师大附中高二下月考)某物体沿水平方向运动,其位移s(米)与时间t(秒)的关系式为s(t)=5t+2t2,则该物体在0,2上的平均速度为()A.18米/秒B.13米/秒C.9米/秒D.132米/秒6.汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图,在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为()A.v2=v3v1B.v1v2=v3C.v1v2v3D.v2v30)之间的平均速度不大于5,则t的取值范围是.9.如图所示,在x1,x2,x2,x3,x3,x4这几个区间内,函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是.1
3、0.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=43r3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V);(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率;哪段半径变化得快(精确到0.01)?此结论可说明什么意义?答案全解全析5.1.1平均变化率基础过关练1.By=f(2+x)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.2.D根据题意,函数f(x)=x2-1在区间1,m上的平均变化率为yx=m2-1-(12-1)m-1=m+1,则有m+1=3,解得m=2.3.答案解析yx=f(x0+x)-f(x0)x,所以在x=1附近取x=
4、0.3,则平均变化率为yx=f(1.3)-f(1)0.3,要比较平均变化率的大小,只需比较y=f(1.3)-f(1)的大小即可,下面逐项判定:中,函数y=x,则y=f(1.3)-f(1)=0.3;中,函数y=x2,则y=f(1.3)-f(1)=0.69;中,函数y=x3,则y=f(1.3)-f(1)=1.197;中,函数y=1x, 则y=f(1.3)-f(1)-0.23.所以平均变化率最大的是.4.解析因为函数y=f(x)在2,2+x上的平均变化率为yx=f(2+x)-f(2)x=-(2+x)2+(2+x)-(-4+2)x=-3x-(x)2x=-3-x,所以由-3-x-1,得x-2.又因为x0
5、,所以x0,即x的取值范围是(0,+).5.Cs(t)=5t+2t2,该物体在运动前2秒的平均速度为s(2)-s(0)2=182=9(米/秒).故选C.方法总结要求物体的平均速度,就要知道物体在一段时间的位移,位移除以时间即为平均速度.6.C由题意得,v1=kOA,v2=kAB,v3=kBC,由题图易知kOAkABkBC,所以v1v20,所以t的取值范围是(0,1.9.答案x3,x4解析根据平均变化率的概念,记函数y=f(x)在区间x1,x2,x2,x3,x3,x4上的平均变化率分别为k1,k2,k3,则k1=f(x2)-f(x1)x2-x1,k2=f(x3)-f(x2)x3-x2,k3=f(
6、x4)-f(x3)x4-x3,结合题中图象可以发现k3k10k2,故函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是x3,x4.10.信息提取(1)气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)的函数关系为V(r)=43r3;(2)求r关于V的函数;(3)比较两个平均变化率.数学建模本题以气球的体积与半径的关系为背景构建函数模型,利用函数的平均变化率的知识解决.对于(1),由V求出r即可;对于(2),分别求出两个平均变化率,再比较它们的大小即可.解析(1)V=43r3,r3=3V4,r=33V4,即r(V)=33V4.(2)函数r(V)在区间0,1上的平均变化率为r(1)-r(0)1-0=3314-010.62(dm/L),函数r(V)在区间1,2上的平均变化率为r(2)-r(1)2-1=3324-33140.16(dm/L).显然体积V从0 L增加到1 L时,半径变化得快,这说明气球刚开始膨胀得快,随着体积的增大,半径增加得越来越慢.解题模板在比较平均变化率的大小时,若所得的结果是根式,则一般通过平方法或取近似值法比较大小.
