1、【回归训练】一、 填空题1. 无论m为何值,直线l:(m-2)x+3y+2m=0恒过定点.2. 若AB是过椭圆+=1中心的任一条弦,M是椭圆上异于A,B的任一点,且AM,BM均与坐标轴不平行,则kAMkBM为定值.3. 如图,M为椭圆+y2=1上任意一点,P为线段OM的中点,则的最小值为. (第3题)4. 已知椭圆+=1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,则PA+PB的最小值为.5. 已知椭圆C:+=1ab0的左顶点为A,右焦点为F,点M在右准线l上运动,记直线AM,OM,FM的斜率分别为k1,k2,k3,若椭圆C的离心率为,则=.6. 不过椭圆O:+y2=1的右顶点
2、的动直线y=x+m交椭圆O于P,Q两点,则P,Q两点的横坐标的平方和为定值.7. 已知点P是双曲线-(a0,b0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,H为PF1F2的内心,若=+成立,则=.8. 已知椭圆+=1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,则PA+PB的最小值和最大值分别为.二、 解答题9. 已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,且OAOB(O为坐标原点).求证:(1) A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是定值;(2) 直线AB经过一定点.10. 已知点A(1,1)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且满足AF
3、1+AF2=4.(1) 求椭圆的方程及离心率;(2) 设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值,并说明理由.11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和点e,都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1) 求椭圆的方程;(2) 设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.(第11题) 若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;) 求证:PF1+PF2是定值.第7练解析几何的定点定值范围问题【方法引领】第7练解析几何的定点定值范围
4、问题1. -2,-2. -3. -4. 5. 26. 4 7. 8. 10-210+29. (1) 设直线OA的方程为y=kx(k0),则直线OB的方程为y=-x,由得A,同理得B(2k2p,-2kp),所以A,B两点横坐标之积为2k2p=4p2为定值,纵坐标之积为(-2kp)=-4p2也为定值.(2) 由(1)知kAB=,所以直线AB的方程为y+2kp=(x-2k2p),化简得(k2-1)y+kx-2kp=0,即y+x-2p=0.所以直线AB过定点(2p,0).10. (1) 因为点A(1,1)是椭圆+=1(ab0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,所以+=1,AF1+AF2=2a=4,所
5、以a=2,b2=,所以c2=a2-b2=,所以离心率e=,且椭圆的方程为+=1.(2) 设点C(xC,yC),D(xD,yD).因为AC,AD的倾斜角互补,所以kAC+kAD=0.设直线AC的方程为y-1=k(x-1),则直线AD的方程为y-1=-k(x-1).由得(1+3k2)x2+3(2k-2k2)x+3(k2-2k)-1=0.因为点A的横坐标x=1是该方程的一根,所以xC=.同理,xD=,所以kCD=(为定值).故直线CD的斜率为定值.11. (1) 由题设知,a2=b2+c2,e=,由点(1,e)在椭圆上,得+=1,+=1,b2+c2=a2b2,所以a2=a2b2,b2=1,所以c2=
6、a2-1.由点e,在椭圆上,得+=1,+=1,即+=1,整理得a4-4a2+4=0,解得a2=2.所以椭圆的方程为+y2=1.(2) 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1BF2,所以设AF1,BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20.所以消去x1得(m2+2)-2my1-1=0,解得y1=.所以AF1=.同理,BF2=.) 由得,AF1-BF2=.所以=,解得m2=2.因为注意到m0,所以m=.所以直线AF1的斜率为=.) 因为AF1BF2,所以=,即+1=+1,=.所以PF1=BF1.由点B在椭圆上知,BF1+BF2=2,所以PF1=(2-BF2).同理,PF2=(2-AF1).所以PF1+PF2=(2-BF2)+(2-AF1)=2-.由得,AF1+BF2=,AF1BF2=,所以PF1+PF2=2-=.所以PF1+PF2是定值.
