1、4.3等比数列4.3.1等比数列的概念4.3.2等比数列的通项公式基础过关练题组一等比数列的概念及其应用1.有下列四个说法:等比数列中的某一项可以为0;等比数列中公比的取值范围是(-,+);若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.32.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,是等比数列,则实数a的取值范围是()A.a1B.a0或a1C.a0D.a0且a13.(2021湖北黄石第二中学高三一模)已知函数f(x)=logkx(k为常数,k0且k1).下列条件中,能使数列an为等比数列的是(填序号).数列f
2、(an)是首项为2,公比为2的等比数列;数列f(an)是首项为4,公差为2的等差数列;数列f(an)是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.题组二等比数列的通项公式4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二期中)在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q为()A.2B.2C.3D.35.(2021江苏镇江四校高三第一次联考)在正项等比数列an中,若a6,3a5,a7依次成等差数列,则an的公比为.6.(2020江苏南通高三考前模拟)已知等比数列an的公比q=2,且a1a2a3a30=1,则a3a6a9a30=.7.(2020湖北宜昌示范高中协作体高二期末)已知数列an是首
3、项为1的等比数列,数列bn满足b1=2,b2=5,且anbn+1=anbn+an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn.题组三等比中项8.(2020四川广元高一期末)两数2+1与2-1的等比中项是()A.1B.-1C.1D.129.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列an的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于()A.6B.4C.3D.-110.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.6D.1211.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2a=1的离心率可能
4、为()A.22B.32C.62D.3题组四等比数列的性质12.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研考试)已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=()A.52B.7C.6D.4213.(2021浙江十校联盟高三联考)已知数列an为等比数列,则“a11”是“an为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.(2020四川外国语大学附属学校阶段检测)已知等比数列an是递减数列,且满足a1+a4=18,a2a3=32,则a5=()A.32B.16C.2D.115.在正项等比数列an中,a1a5-2a3a5
5、+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列an的通项公式.能力提升练题组一等比数列的通项公式及其应用1.(2020河北保定高一期末,)已知数列a1,a2a1,anan-1,是首项为1,公比为2的等比数列,则log2an=()A.n(n+1)B.n(n-1)4C.n(n+1)2D.n(n-1)22.(2021河南豫南九校高二联考,)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音的频率之比为常
6、数,如下表所示,其中a1,a2,a13表示这些半音的频率,它们满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,12).若某一半音与D8的频率之比为32,则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC8DD8EFF8GG8AA8BC(八度)A.F8B.GC.G8D.A3.(2020江苏南京师大附中高三高考模拟,)各项均正且公差不为0的等差数列an的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列bn的连续三项(顺序不变),设Sn=1a1a2+1a2a3+1anan+1,若对一切的nN*,Sn1a1恒成立,则a1的最小值为.4.(2021江苏徐州新沂第一中学高二月考,)在
7、各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.(1)若a1=4,q=32,则d=;(2)若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.5.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校高三联考,)从前n项和Sn=n2+p(pR),a6=11且2an+1=an+an+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并完成解答.在数列an中,a1=1,其中nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)若a1,an,am构成等比数列,其中m,nN*,且mn1,求m的最小值.题组二等比数列的性质及综合应用6.(2021江苏宿迁桃州中学高二调
8、研,)已知等比数列an满足an0,n=1,2,且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)27.(2021安徽示范高中培优联盟高二联赛,)已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,若a1a6a11=33,b1+b6+b11=-34,则tan b3+b91-a4a8的值是()A.-3B.22C.-22D.18.(2020重庆第一中学高一月考,)正项数列an满足:an+an+1+an+2=anan+1an+2,a1+a3=6,若前三项构成等比数列且满足a1a2a3,Sn为数列an的前n项
9、和,则S2 020(x表示不超过x的最大整数)的值为(参考数据:52.236)()A.4 040B.4 041C.5 384D.5 3859.(2021江苏苏州高二期中,)已知等比数列an为递增数列,若a1+a4=7,a2+a3=6,则a1+a2=.10.(2020广西南宁第三中学高三月考,)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,其中a1,a3,a9成等比数列,且数列an不是常数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=1Sn,bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,由a6,3a5,a7依次成等差数列,可得6a5=a6+a7,即有6a1q4=a1q5+a1q6,化简,得q2+q-6=0,解得
10、q=2(q=-3舍去),则an的公比为2.6.答案1 024解析因为an为等比数列,公比q=2,且a1a2a3a30=1,所以a1a1qa1q2a1q29=a130q1+2+3+29=a1302435=1,所以a110=2-145,所以a3a6a9a30=a110q155= a1102155,所以a3a6a9a30=2-1452155=210=1 024.7.解析(1)将n=1代入已知等式,得a1b2=a1b1+a2,a2=a1b2-a1b1=3a1.an是首项为1,公比为3的等比数列,an=13n-1=3n-1.(2)由(1)及已知得bn+1-bn=an+1an=3,bn是首项为2,公差为3
11、的等差数列,bn=2+3(n-1)=3n-1,Sn=n(b1+bn)2=n(2+3n-1)2=3n2+n2.解题模板关于a1和q的求法通常有以下两种:(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,通过解方程组求出a1,q,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.8.C设两数的等比中项为x,则x2=(2+1)(2-1)=1,x=1,故等比中项为1.9.B依题意得a32=a1a7,(a1+4)2=a1(a1+12),解得a1=4.故选B.10.C由题意可得a=1+22=32,b2=(-1)(-16)=16,解得b=4,ab=6.11
12、.AD由1,a,4成等比数列,得a=2.当a=2时,曲线x2+y22=1表示焦点在y轴上的椭圆,此时离心率为2-12=22;当a=-2时,曲线x2-y22=1表示焦点在x轴上的双曲线,此时离心率为2+11=3.故选AD.12.A由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,所以a4a5a6=52.13.A若等比数列an满足a11,则数列an为递减数列,故“a11”是“an为递减数列”的充分条件;因为当等比数列an满足a10,0q1时,数列an也是递减数列,所以“a11”不是“an为递减数列”的必要条件.综上所述,“a11”是“an为递减数列”的充分不必要条件,故选A.1
13、4.D设等比数列an的公比为q.由a2a3=32可得a1a4=32,又a1+a4=18,且等比数列an为递减数列,所以a1=16,a4=2,所以q3=a4a1=18,故q=12,所以a5=a412=1,故选D.15.解析设等比数列an的公比为q(q0).因为数列an为等比数列,所以a1a5=a32,a3a7=a52,所以由题意可得a32-2a3a5+a52=36.同理,得a32+2a3a5+a52=100.所以(a3-a5)2=36,(a3+a5)2=100,因为an0,所以a3-a5=-6,a3+a5=10或a3-a5=6,a3+a5=10,解得a3=2,a5=8或a3=8,a5=2,易得a
14、1=12,q=2或a1=32,q=12.所以an=122n-1=2n-2或an=3212n-1=26-n.能力提升练1.D由题意可得anan-1=12n-1=2n-1(n2),而an=a1a2a1a3a2anan-1=121+2+(n-1)=2n(n-1)2(n2),当n=1时,a1=1也满足该式,故an=2n(n-1)2(nN*),所以log2an=n(n-1)2,故选D.2.答案B信息提取(1)把八度分成13个半音;(2)相邻两个半音的频率之比是常数;(3)log2ai+1ai12=1(i=1,2,12).数学建模本题是以音乐中音律的划分为背景的实际问题,由“相邻两个半音的频率之比为常数”
15、可构建等比数列模型.实际问题可转化为已知ana4=32求an,进而求出an对应的半音.根据log2ai+1ai12=1可得ai+1ai=2112,即数列an是公比为2112的等比数列,利用等比数列的通项公式即可求解.解析依题意可知an0(n=1,2,12,13).由于a1,a2,a13满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,12),则ai+1ai12=2ai+1ai=2112,所以数列an(n=1,2,12,13)为等比数列,设其公比为q,则q=2112,D8对应的频率为a4,又所求半音与D8的频率之比为32=213=(2112)4,故所求半音对应的频率为a4(2112)4=a8,其对应
16、的半音为G.3.答案13解析设等差数列an的公差为d(d0),由题意得a22=a1a6,即(a1+d)2=a1(a1+5d),因为d0,所以d=3a1,所以an=a1+(n-1)d=(3n-2)a1,则Sn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=13a11a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=13a13na1a1(3n+1)a1=n(3n+1)a12,所以n(3n+1)a121a1,则a1n3n+1.因为n3n+1=131-13n+10,可得(d-22)(3d-88)0,所以22dn,所以当n=2时,m取得最小值,最小值为5.选择条件:(1)由2an+1=an+an+2,得an+
17、1-an=an+2-an+1,所以数列an是等差数列,设其公差为d.因为a1=1,a6=a1+5d=11,所以d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-1(nN*).(2)因为a1,an,am构成等比数列,所以an2=a1am,即(2n-1)2=1(2m-1),化简,得m=2n2-2n+1=2n-122+12.因为m,n是大于1的正整数,且mn,所以当n=2时,m取得最小值,最小值为5.6.C因为an为等比数列,所以a1a2n-1=a2a2n-2=a5a2n-5=22n,所以log2a1+log2a3+log2a2n-1=log2(a1a2n-1)n2=log2(22n)n2=log22n2
18、=n2.故选C.7.D在等差数列bn中,b1+b6+b11=3b6=-34,b6=-4,b3+b9=2b6=-2,在等比数列an中,a1a6a11=33,即a63=33,a6=3,1-a4a8=1-(3)2=-2,则tan b3+b91-a4a8=tan -2-2=tan 4=1.故选D.8.C依题意得a1+a2+a3=a1a2a3,a1+a3=6,a22=a1a3,故6+a2=a23,即(a2-2)(a2+1)2+2=0,解得a2=2.联立a1+a3=6,a1a3=4,结合a1a2a3,可解得a1=3-5,a3=3+5.依题意得a2+a3+a4=a2a3a4a4=3-5,a3+a4+a5=a
19、3a4a5a5=2,a4+a5+a6=a4a5a6a6=3+5,所以数列an是周期为3的周期数列,且a1+a2+a3=8,故S2 020=S6733+1=6738+a1=5 387-5,又52.236,所以S2 020=5 384.故选C.9.答案4解析设等比数列an的公比为q,由题意,得a1(1+q3)=7,a1q(1+q)=6,得a1q(1+q)a1(1+q3)=q(1+q)(1+q)(1-q+q2)=q1-q+q2=67,解得q=32或q=23,经验证可知当q=23时,an不是递增数列,故q=32,所以a1+a2=a1(1+q)=6q=4.10.解析(1)设等差数列an的公差为d(d0)
20、.因为a1,a3,a9成等比数列,所以a32=a1a9,即32=(3-2d)(3+6d),解得d=1或d=0(舍去),所以an=a3+(n-3)1=n.(2)证明:由(1)知,a1=1,所以Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+1)2,所以bn=1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1,则Tn=b1+b2+bn=211-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+12.11.解析(1)由Sn=2an-2可得a1=2.因为Sn=2an-2,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n(nN*).(2)
21、由(1)知an=2n,所以bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=n(n+1)2.所以(n-8)bnnk对任意nN*恒成立等价于(n-8)(n+1)2k对任意nN*恒成立,等价于k(n-8)(n+1)2min.设cn=12(n-8)(n+1),nN*,则当n=3或n=4时,cn取得最小值-10,所以k-10.12.解析(1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,黄河的含沙量为22 000+201 0003 000=8(kg/m3),又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为81 000+201 0002 000=14(kg/m3).(2)设在第n个观测点时黄河的含沙量为an kg/m3,洮河的含沙量为bn kg/m3,由题意有a1=2,b1=20,且an+1=1 000bn+2 000an3 000=2an+bn3,bn+1=1 000bn+1 000an+12 000=an+1+bn2=an+2bn3,所以bn+1-an+1=13(bn-an),又b1-a1=180,所以bn-an是首项为18,公比为13的等比数列,bn-an=1813n-1.根据题意,有1813n-11 800,nN*,解得n7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3.