1、2.3 幂 函 数基础认知自主学习1幂函数的概念函数_叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数导思1.幂函数是如何定义的？它的解析式具有什么特点？2.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？yx(1)幂函数的解析式有什么特征？提示：系数为 1；底数 x 为自变量；幂指数为常数(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？提示：自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数；底数不同，幂函数的底数是变量 x，指数函数的底数是常数 a.2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)
2、R0,+)y|yR且 y0幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x(0,+)增;x(-,0)减增增x(0,+)减;x(-,0)减公共点都经过点_(1,1)(3)本质：幂函数的性质主要指幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，常见的幂函数有如下性质：所有的幂函数在(0，)上都有意义，并且图象都通过点(1，1)，幂函数图象不过第四象限；当 0 时，幂函数的图象都通过点(0，0)、(1，1)；并且在0，)上都是增函数当0 时，幂函数的图象在第一象限内有什么共同特征？提示：图象都是从左向右逐渐上升1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)幂函数的图象在四个象限均有可能
3、出现()提示：幂函数的图象不能出现在第四象限(2)当 0 时，幂函数在 R 上是减函数()提示：当 1 时，函数 y1x 在(，0)，(0，)上是减函数，在 R 上不是减函数(3)当 0 时，幂函数的图象是一条直线()提示：函数 yx0 的定义域为x|x0，图象是去除了一个点的直线2下列函数中不是幂函数的是()Ay xByx3Cy3x Dyx1【解析】选 C.只有 y3x 不符合幂函数 yx 的形式3已知幂函数 f(x)x 的图象过点(2，2)，则 f(9)_.【解析】因为幂函数 f(x)x 的图象过点(2，2)，所以 f(2)(2)2，解得 2，所以 f(x)x2，所以 f(9)9281.答
4、案：81能力形成合作探究类型一 幂函数的概念(数学抽象、逻辑推理)1已知幂函数 f(x)xa 的图象过点14，12，则式子 4a 的值为()A1 B2 C12 D14【解析】选 B.因为幂函数 f(x)xa 的图象过点14，12，所以14a12，解得：a12，故 4a2.2已知函数 f(x)(3m)x2m5 是幂函数，则 f12_【解析】函数 f(x)(3m)x2m5 是幂函数，则 3m1，解得 m2，所以 f(x)x1，所以 f(x)1x，所以 f121122.答案：23函数 f(x)(m2m5)xm1 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，试确定 m 的值【解析】根据幂函数的定义
5、，得 m2m51，解得 m3 或 m2.当 m3 时，f(x)x2 在(0，)上是增函数；当 m2 时，f(x)x3 在(0，)上是减函数，不符合要求故 m3.求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件(2)常用方法：设幂函数解析式为 f(x)x，依据条件求出.1若幂函数 f(x)(m23m3)xm 在(0，)上为增函数，则实数 m()A4 B1 C2 D1 或 4【解析】选 A.幂函数 f(x)(m23m3)xm 在(0，)上为增函数，所以 m23m31，并且 m0，解得 m4.2已知幂函数 f(x
6、)xa(a 为常数)的图象经过点(2，2)，则 f(9)_【解析】设函数 f(x)xa，由题意 f(2)2a 2，所以 a12，所以 f(x)x，所以 f(9)9 3.答案：33已知函数 f(x)(2m2m)xm2m1 为幂函数且是奇函数，则实数 m_【解析】因为 f(x)为幂函数，所以 2m2m1，得 m12 或 m1.当 m12 时，f(x)x14 14 x，定义域为x|x0，显然不具有奇偶性；当 m1 时，f(x)x11x(x0)，是奇函数答案：1类型二 幂函数的图象及应用(数学抽象、直观想象)【角度 1】幂函数的图象【典例】如图的曲线是幂函数 yxn 在第一象限内的图象，已知 n 分别
7、取1，12，2四个值，相应的曲线 C1，C2，C3，C4 对应的 n 依次为()A1，12，1，2 B2，1，12，1C1，1，2，12D2，1，1，12【思路导引】根据各个函数图象特征选取【解析】选 B.函数 yx1 在第一象限内单调递减，对应的图象为 C4；yx 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为 C2；yx2 对应的图象为抛物线，对应的图象应为 C1；y12x 在第一象限内的图象是 C3；所以与曲线 C1，C2，C3，C4 对应的 n 依次为 2，1，12，1.已知函数 yxa，yxb，yxc 的图象如图所示，则 a，b，c 的大小关系为()Aabc BcbaCbca Dcab【
8、解析】选 B.由幂函数的图象特征，知 c1，0b1.故 cba.【角度 2】幂函数的应用【典例】已知幂函数 f(x)xk(k 为常数，kQ)，在下列函数图象中，不是函数 yf(x)的图象是()【思路导引】根据幂函数图象所在的象限判断【解析】选 C.函数 f(x)xk(k 为常数，kQ)为幂函数，图象不过第四象限，所以 C中函数图象不是函数 yf(x)的图象解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离 x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数
9、与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 yx1 或 y12x 或 yx3)来判断如图所示，曲线 C1 与 C2 分别是函数 yxm 和 yxn 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0 Bmnm0 Dmn0【解析】选 A.画出直线 yx0 的图象，作出直线 x2，与三个函数图象交于点(2，20)，(2，2m)，(2，2n).由三个点的位置关系可知，nm0.类型三 利用幂函数的单调性比较大小(数学运算、逻辑推理)【典例】1.已知 a432，b254，c1325，则()Abac BabcCbca Dcab【解析】选 A.因为 a432 1316，c1325，由幂函
10、数 y13x 的单调性，所以 ac，由 a432 1316，b254 1516，根据指数函数 y16x 的单调性，所以 ab，可得 bac.2比较下列各组中两个数的大小(1)122()5与121()3；(2)231与351；(3)341()2与123()4【解析】(1)因为幂函数 y12x 在0，)上是增函数，又25 13，所以122()5121()3(2)因为幂函数 yx1 在(，0)上是减函数，又23 bc BcabCabca【解析】选 C.因为 a352()5158()125，b252()5154()25，c253()5159()25，又函数 f(x)13x 单调递增，且 8125 425 925，所以 ab351()5，即 ab0.而 c(2)323bc.答案：abc