1、第一章集合与常用逻辑用语第2课四种命题和充要条件链教材 夯基固本栏目导航研题型 技法通关链教材 夯基固本激活思维1.(选修21P8习题1改编)命题“若x21，则1x1”的逆否命题是_2.(选修21P7练习2改编)命题“若x0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为_若x1或x1，则x212【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x20，则xAC，则CB”的否命题为_命题(2)命题“若ab0，则b0”的逆否命题为_命题4.(选修21P9习题4(2)改编)“sin sin”是“”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)5.(选修
2、21P21习题7改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的_条件，p是q的_条件【解析】qsrq，所以r是q的充要条件；qsrp，所以p是q的必要条件真假必要不充分充要必要知识梳理1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“_”，逆命题为“_”，逆否命题为“_”其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与_等价，逆命题与_等价因此，四种命题为真的个数只能是偶数2.对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作pq，称p是q的_条件，q是p的_条件；当它是假命题时，记作p/q，称p是q的_条件，q是p的_条件若非p则非q若q则p若非q则非p逆否命题否命题充
3、分必要非充分非必要3.(1)若pq，且q/p，则p是q的_条件；(2)若p/q，且qp，则p是q的_条件；(3)若pq，且qp，则p是q的_条件，记作pq；(4)若p/q，且q/p，则p是q的_条件4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的_)，又要证明它的逆命题成立(即条件的_)充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要充分性必要性研题型 技法通关课堂导学目标 1 四种命题及其真假判断 写出命题“若 x3 且 y2，则 xy5”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假【思维引导】本题考查四种命题之间的转换，要抓住条件与结论进行改写【解答】逆命题：若xy5，则x3且y2，假命题
4、否命题：若x3或y2，则xy5，假命题逆否命题：若xy5，则x3或y2，真命题【精要点评】四种命题的转换，首先要改写成“若p则q”的形式，其次要注意常见的否定转换注意：互为逆否命题的两个命题真假相同 给出以下四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2xq0有实数根”的逆否命题；若ab是偶数，则整数a，b都是偶数其中真命题是_(填序号)【解析】显然正确；原命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，故不正确；原命题正确，所以它的逆否命题也正确；若ab是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故不正确【精要点评】对命题真假的判断，真命题要
5、加以论证；假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意四种命题之间的真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价因此，四种命题中真命题的个数只能是0,2或4.目标2 充要条件的判定(2017天津卷改编)设R，则“12 12”是“sin 12”的_条件【思维引导】明确角的范围，判断充分性；由三角函数的值的范围确定角的范围，注意三角函数的周期性，判断必要性充分不必要【解析】当 12 12时，06，即0sin 12，故充分性成立；由sin 12可取0，但此时不满足条件 12 b”是“3a3b”的充分不必要条件；“
6、”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错；由余弦函数的性质可知“”是“coscos”的既不充分也不必要条件，故错；当 a0 时，f(x)x3 是奇函数，当 f(x)是奇函数时，由 f(1)f(1)得 a0，所以正确目标3 结合充要条件求参数 已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的一个必要不充分条件【思维引导】求a的取值范围使它成为MP的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a的取值范围【解答】(1
7、)由MPx|5x8，得3a5，因此MPx|5x8的充要条件是3a5.(2)在集合a|3a5中取一个值即可，如取a0，此时必有MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有a0，故a0是所求的一个充分不必要条件(3)即求一个集合Q，使a|3a5是集合Q的一个真子集如果a|a5，那么未必有MPx|5x8，但是MPx|514.目标4 充要条件的证明 已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.【思维引导】证明充分性，由“ac0”推出“方程ax2bxc0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2bxc0有一个正根和一个负根”推出“ac0”，主要根据判别式
8、、一元二次方程的根与系数的关系进行论证【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.充分性：由ac0，且x1x2ca0，故方程ax2bxc0有一正一负两个实数根所以ac0，x20，则x1x20，即ca0，所以a，c异号，即ac0，故ac0是原方程有一正一负两个实数根的必要条件综上，ac0是原方程有一正一负两个实数根的充要条件【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论 已知函数f(x)是R上的增函数，a，bR，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)的充要条件是ab0.【解答】充
9、分性，即已知ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)因为ab0,所以ab，ba，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)必要性，即已知f(a)f(b)f(a)f(b)，求证：ab0.假设ab0，所以ab，ba，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)1，则 a21”的逆否命题是_2.已知集合 Mx|x20，Nx|xa，若“xM”是“xN”的充分条件，则实数 a 的取值范围是_若 a21，则 a12，)【解析】由题意得Mx|x20 x|x0时，S4S62S50，则S4S62S5；当S4S62S5时，S4S62S50，则d0.所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件5.求证：方程 mx22x30 有两个同号且不相等的实数根的充要条件是 0m13.【解答】充分性：因为0m13，所以方程mx22x30的判别式412m0，且 3m0，所以方程mx22x30有两个同号且不相等的实数根必要性：若方程mx22x30有两个同号且不相等的实数根，则有412m0，x1x23m0，所以0m13.综上，原命题得证Thank you for watching