1、1 函数的单调性与极值11 导数与函数的单调性01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、导函数符号与函数的单调性之间的关系1如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数_，则在这个区间上，函数 yf(x)是增加的2如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数_，则在这个区间上，函数 yf(x)是减少的f(x)0 f(x)0 时，f(x)2xx，则 f(x)的递减区间是()A(2，)B(0,2)C(2，)D(0，2)解析：f(x)2x21，x0，由 f(x)0，得 0 x0 时，f(x)的递减区间是(0，2)答案：D2函数 yxcos xsin x 在下面哪个区间内是增函数
2、()A.2，32B(，2)C.32，52D(2，3)答案：B3f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图像如图所示，则 f(x)的图像可能是()解析：由图知 f(x)在区间a，b上先增大后减小，但始终大于等于 0，则 f(x)的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有 D 符合答案：D4若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的范围是_解析：因为 f(x)x bx20，在 x(1，)上恒成立，所以 bx(x2)在 x(1，)上恒成立而 x(x2)在(1，)上大于1，所以 b1.(，1探究一 求函数的单调区间 例 1 已知函数 f(x)12x2aln x(aR，a0)，求
3、 f(x)的单调区间解析 函数 f(x)12x2aln x 的导数为f(x)xax.(1)当 a0 时，函数的定义域是(0，)，于是有 f(x)xax0，所以函数只有单调递增区间，其增区间是(0，)(2)当 a0，得 x a；由 f(x)xax0，得 0 x a.所以当 a0)；(2)f(x)13x312(aa2)x2a3xa2.解析：(1)函数的定义域为x|x0f(x)(xax)1 ax2 1x2(x a)(x a)要求 f(x)的递减区间，故不妨令 f(x)0，则 1x2(x a)(x a)0，解得 ax a，且 x0，函数的递减区间为(a，0)和(0，a)(2)yx2(aa2)xa3(x
4、a)(xa2)，令 y0，得(xa)(xa2)0.当 a0 时，不等式的解集为 axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；当 0a1 时，不等式解集为 a2x1 时，不等式解集为 axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；a0，a1 时，y0，此时，无减区间综上所述：当 a1 时，函数 f(x)的递减区间为(a，a2)；当 0a1，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)内是增加的，在(1，a1)内是减少的，在(a1，)内是增加的依题意应有当 x(1,4)时，f(x)0.所以 4a16，解得 5a7.所以 a 的取值范围为5,7利用单调性证明方程有唯一解 例 4 证明方程 x12sin x0 有唯一解证明 设 f(x)x12sin x，显然 x0 是方程 x12sin x0 的一个解因为 f(x)112cos x，当 xR 时，f(x)0 总成立，所以函数 f(x)在 R 上是递增的所以曲线 f(x)x12sin x 与 x 轴只有一个交点，所以方程 x12sin x0 有唯一解感悟提高 证明此类问题有两个关键点：一是函数在定义域内有唯一解；二是函数在定义域内是递增的(或递减的)，二者缺一不可，推理证明要严密03 课后 巩固提升
