1、函数性质的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)x2x，则f()A.BCDC因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以fff.又当0x1时，f(x)x2x，所以f，则f.2下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()A.yexex Byln (|x|1)C.y DyxD选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意； 选项D中，yx是奇函数，且yx和y在(0，)上均为增函数，故yx在(0，)上为增函数，所以选项D正确3已知定义在R上的奇函数f(x)有ff(x)0，当x0时，f(x)
2、2xa，则f(16)的值为()A. B C DA由ff(x)0，得f(x)ff(x5)，f(x)是以5为周期的周期函数，f(16)f(135)f(1).f(x)是R上的奇函数，f(0)1a0，a1.当x0时，f(x)2x1，f(1)211，f(1)，f(16).4定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log(1x)，则f(x)在区间内是()A.减函数且f(x)0 B减函数且f(x)0C.增函数且f(x)0 D增函数且f(x)0D当x时，由f(x)log(1x)可知，f(x)单调递增且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)0.由ff(x
3、)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)0.5(2019合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()A.f()ffB.fffC.fffD.fffC因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知fff.二、填空题6已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_6f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1).又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(
4、1)6.7定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x).现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，故正确；又f(4x)f(x)，所以f(2x)f(2x)，即f(x)的图象关于直线x2对称，故正确；由f(x)f(4x)得f(x)f(4x)f(x)，故正确8已知定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)内单调递增，且f0，则f(x)0的解集为_由奇函数yf(x)在(0，)内单调递增，且f0，可知函数yf(x
5、)在(，0)内单调递增，且f0.由f(x)0，可得x或x0.三、解答题9设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又f(x2)f(x)，f(x)f(x).又f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10设函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2
6、)当4x4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.1(2019惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2
7、，则不等式f(log2x)2的解集为()A.(2，) B(2，)C.(，)D(，)Bf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，因为f(1)2，所以f(1)2，所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x1x2或0x.故选B.2多选定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，则下列不等式中成立为()A.f(b)f(a)g(a)g(b)B.f(b)f(a)g(a)g(b)C.f(a)f(b)g(b)g(a)D.f(a)f(b)g(b)g(a)AC函数f(x)为
8、R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，由ab0，得f(a)f(b)0.对于A，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0(因为f(a)g(a)在a0上)，所以A正确；对于B，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0，这与f(b)0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(
9、a)f(b)矛盾，所以D错误故选AC.3定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1，0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来).因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x).所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在x1，0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在0，1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x
10、2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x).又因为f(x)为奇函数所以f(2x)f(x)，所以函数关于x1对称由f(x)在0，1上为增函数，又关于x1对称，所以f(x)在1，2上为减函数由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0).4已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，所以f(x
11、1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1).1多选已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，下列结论正确的是()A.函数yf(x)的图象关于直线x1对称B.f(4)0C.f(x8)f(x)D.
12、若f(5)1，则f(2 019)1BCD根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有f(x4)f(x)，即f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(2 019)f(52 024)f(5)1，D正确故选BCD.2设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)设f(1)2，求f，f；(2)证明：f(x)是周期函数解(1)由f(x1x2)f(x1)f(x2)，x1，x2，知f(x)f f0，x0，1.f(1)fff，f(1)2，f2ffff，f2，f2(2)证明：依题设，yf(x)的图象关于直线x1对称，f(x)f(2x).又f(x)f(x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期