1、32 函数模型及其应用32.1 几类不同增长的函数模型基础认知自主学习导思1.在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？2在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加的速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？1.三种函数的性质及增长速度的比较指数函数对数函数幂函数解析式y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)单调性在(0,+)上是增函数图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行随n值的不同而不同增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢y值逐渐增加增长关系存在一个x0,当xx0时,_axxnlogax2.本
2、质几类不同增长速度的函数可以作为描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体现出指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的不同作用3应用(1)解不等式；(2)函数模型的选定存在一个x0，当xx0时，为什么axxnlogax(a1，n0)一定成立？提示：当a1，n0时，由yax，yxn，ylogax的增长速度，存在x0，当xx0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有axxnlogax.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数log13x的衰减速度越来越慢()提示：由函数ylog13x的图象可知其衰减速度越来越慢(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型
3、()提示：一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变(3)若a1，n0，对于任意x0R，一定有ax0 xn0.()提示：如23x12 lg x B2xlg xx12C.x12 2xlg x Dlg xx12 2x【解析】1.选A.指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度变快2选A.结合y2x，yx12 及ylg x的图象易知，当x(0，1)时，2xx12 lg x常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即
4、增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间【补偿训练】今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A.vlog2t Bvlog12 tC.vt212Dv2t2【解析】选C.从题表中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D.2(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对
5、应的函数为f(x)2x.(2)因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，所以1x12，9x210，所以x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)g(6)；当xx2时，f(x)g(x)，所以f(2 020)g(2 020).又g(2 020)g(6)，所以f(2 020)g(2 020)g(6)f(6).由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数【补偿训练】函数f(x)
6、lg x，g(x)0.3x1的图象，如图所示：(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较【解析】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x).类型三 不同函数模型的选择及使用(数学建模、数学计算)【典例】某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，
7、产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，设月份为x，产量为y(万双)，给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【思路导引】结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解【解析】由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据(1)设模拟函数为yaxb，将B，C两点的坐标代入函数式，得2ab1.2，3ab1.3，解得a0.1，b1.所以有关系式y0.1x1.结论：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不
8、太可能的(2)设模拟函数为yax2bxc，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得abc1，4a2bc1.2，9a3bc1.3，解得a0.05，b0.35，c0.7.所以有关系式y0.05x20.35x0.7.结论：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x3.5)，不合实际(3)设模拟函数为yabxc，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得abc1，ab2c1.2，ab3c1.3.由得ab1c，代入，得b（1c）c1.2，b2（1c）c1.3.则c1.2b1b，c1.3b21b2，解得b0.5，c1.4，则
9、a1cb0.8.所以有关系式y0.80.5x1.4.结论：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势因此选用指数型函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律(2)指数函数增长模
10、型适合于描述增长速度急剧的变化规律(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天126市场价y元5210(1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，一次函数；二次
11、函数；对数函数，并求出函数的解析式(2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格【拓展延伸】函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题【引例】一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫下列各图中能基本反映出亮亮这一天(0时24时)体温变化情况的是()【解析】选C.观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“中午体温基本正常”与“下午体温又开始上升”；图象D不能反映“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉
12、身上不那么发烫”【拓展训练】某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示sf(t)的函数关系的为()【解析】选C.当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，svt，图象为一条线段；当环岛两周时，s两次增至最大，并减少到与环岛前相等的距离s0；上岸考察时，ss0；返回时，ss0vt，图象为一条线段学情诊断课堂测评1三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：x1357911y151356251
13、7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.9857.27.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3 By2，y1，y3 Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律2某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍
14、，则函数yf(x)的大致图象是图中的()【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为18.6%；经过2年森林的蓄积量为(18.6%)2；经过x年的森林蓄积量为(18.6%)x(x0)，即y(108.6%)x(x0).因为底数108.6%大于1，根据指数函数的图象，可知D选项正确3一辆匀速行驶的火车90 min行驶180 km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()Ay2t By120tCy2t(t0)Dy120t(t0)【解析】选D.90 min1.5 h，所以y1801.5 t120t(t0).4某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致为()【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，函数为对数函数，所以函数yf(x)的图象大致为D中图象5在y2x，ylog2x，yx这三个函数中，当0 x1x2f（x1）f（x2）2恒成立的函数的个数是()A0 B1C2 D3【解析】选B.作出图象(略)，图象分三种：直线型，例如一次函数f(x)x的图象；向上弯曲型，例如指数函数f(x)2x的图象；向下弯曲型，例如对数函数f(x)log2x的图象，可知只有ylog2x符合要求