1、3 反证法 01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升一、反证法的定义1在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者_，我们可以先假定命题结论的_成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题结论的反面_成立，由此断定命题的结论_这种证明方法叫作_2反证法是一种_证明的方法必居其一反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立反证法间接 自主梳理二、反证法的证明步骤1作出_的假设；2进行推理，导出_；3否定_，肯定_否定结论矛盾假设结论双基自测1命题“在ABC 中，若AB，则 ab”的结论的否定应该是()Aab BabCab
2、Dab答案：B2若 a、b、c 不全为零，必须且只需()Aabc0Ba、b、c 中至少有一个为 0Ca、b、c 中只有一个是 0Da、b、c 中至少有一个不为 0解析：a、b、c 不全为零，即 a、b、c 中至少有一个不为 0.答案：D3用反证法证明命题“如果 ab，那么3 a3 b”时，假设的内容应是()A.3 a3 b成立B.3 a3 b成立C.3 a3 b或3 a3 b成立D.3 a3 b且3 a3 b成立答案：C探究一 证明否定性命题 例 1 求证：当 x2bxc20 有两个不相等的非零实数根时，bc0.证明 假设 bc0.(1)若 b0，c0，方程变为 x20，则 x1x20 是方程
3、 x2bxc20 的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾(2)若 b0，c0，方程变为 x2c20，但 c0，此时方程无解，与x2bxc20 有两个不相等的非零实数根相矛盾(3)若 b0，c0，方程变为 x2bx0，方程根为 x10，x2b，这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知 bc0.结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理此时用反证法更方便1设an是公比为 q(q0)的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，求证：数列Sn不是等比数列证明：假设Sn为等比数列，则 S22S1S3，a21(1q)2a1a
4、1(1qq2)a10，(1q)21qq2，即 q0，与 q0 矛盾Sn不是等比数列探究二 证明唯一性问题 例 2 求证函数 f(x)2x1 有且只有一个零点证明(1)存在性：因为 212 10，所以12为函数 f(x)2x1 的零点所以函数 f(x)2x1 至少存在一个零点(2)唯一性：假设函数 f(x)2x1 除12外还有零点 x0 x012，则f12 f(x0)0.即 212 12x01，x012，这与 x012矛盾故假设不成立，即函数 f(x)2x1 除12外没有零点综上所述，函数 f(x)2x1 有且只有一个零点1结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由
5、于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了 2“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数 f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性2用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行证明：假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 bbA，ba.因为 ba，由平行公理知 bb.这与假设 bbA 矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行例 3 已知 a，b，c 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.探究三 证
6、明“至少”“至多”等问题 证明 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a0，b0，c0.所以 abc0.而 abcx22y2 y22z3 z22x6(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以 abc0.这与 abc0 矛盾，故 a，b，c 中至少有一个大于 0.对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法 3已知 x，y，zR，xyz1，x2y2z212，求证：x，y，z0，23证明：假设 x，y，z 中有负数，不妨设 x0，则 yz1x，y2z2yz22，12x2y2z2x2yz22x21x2232x2x1232x(x23)12.x0
7、，x230.1232x(x23)1212，矛盾x，y，z 中没有负数假设 x，y，z 中有一个大于23，不妨设 x23，则12x2y2z2x2yz22x21x2232x2x1232x(x23)12.x23，x0.32x(x23)0.1232x(x23)1212，矛盾x，y，z 中没有大于23的综上，x，y，z0，23反证法在证明问题中的应用 例 4(本题满分 12 分)已知：02，02，且 sin()2sin，求证：.证明(1)假设(，均为锐角)2 分由 sin()2sin 得 sin cos cos sin 2sin，所以 2sin cos 2sin，所以 cos 1，3 分与 0，2 相矛
8、盾，故.5 分(2)假设(，均为锐角)，由 sin cos cos sin 2sin 得cos sin sin(2cos)，即sin sin cos 2cos.9 分由2 0 得 sin sin 0，sin sin 1.10 分又 0cos cos 1，所以 2cos 1，所以 cos 2cos 1.故sin sin cos 2cos 不成立，故.11 分因为 且，所以.综上.12分 规范与警示易漏掉两种情况的讨论，失分点由此等式推导得出矛盾，关键点易漏掉此结论，解析过程要完整反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略03 课后 巩固提升