1、考点规范练36空间几何体的表面积与体积考点规范练B册第22页基础巩固组1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是() A.4B.3C.2D.答案:C解析:由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S=2rh=211=2.2.(2015安徽,理7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+3B.1+22C.2+3D.22导学号92950829答案:C解析:由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD平面BCD,ABD与BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=2.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO
2、CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=2,因此ABC与ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得SABC=SACD=32,SABD=SBCD=1,所以四面体的表面积为2+3.3.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为2,则此球的体积为()A.6B.43C.46D.63答案:B解析:如图,设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,则OO=2,OM=1,OM=(2)2+1=3,即球的半径为3.V=43(3)3=43.4.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8-2B.8-C.8-2D.8-4答案:B解析:由三视图知,该几何体为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆
3、柱,所以该几何体的体积为23-212214=8-.5.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.323B.4C.2D.43答案:D解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1212+12+(2)2=1,所以V球=4313=43.故选D.6.(2015课标全国,理6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛
4、米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.米堆底部的弧长为8尺,142R=8,R=16.h=5,米堆的体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米约有32091.6222(斛).7.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案:124解析:设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=1314S12h=124
5、Sh=124V2,即V1V2=124.8.(2015上海,理4)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为163,则a=.答案:4解析:依题意,12aa32a=163,解得a=4.9.(2015天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案:83解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,左、右两边是两个相同的圆锥,底面半径为1,高为1;中间是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积V=213121+122=23+2=83.10.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长
6、为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案:124解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,MN=12,NP=1.SMNP=12121=14.点A1到平面MNP的距离为AM=12,VP-A1MN=VA1-MNP=131412=124.11.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积和体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这
7、个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=2 cm,A1D1=AD=2 cm,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+222+212(2)2=22+42(cm2),体积V=23+12(2)22=10(cm3).导学号9295083012.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为3、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个斜四棱柱(如图),其底面是边长为1的正方形,高为3,所以V=113=3.(2
8、)由三视图可知,该四棱柱中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2(11+13+12)=6+23.能力提升组13.具有如图所示的主视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为()A.3B.7+32C.72D.14答案:D解析:由主视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(13+11+31)=14.14.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB
9、,EF=2,则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32导学号92950831答案:A解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,SAGD=SBHC=12221=24.V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=1324122+241=23.15.已知球的直径SC=4,A,B是该球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.1答案:C解析:如图所示,由题意知,在棱锥S-ABC中,SAC,SBC都是有一个角为
10、30的直角三角形,其中AB=3,SC=4,所以SA=SB=23,AC=BC=2,作BDSC于D点,连接AD,易证SC平面ABD,因此VS-ABC=1334(3)24=3.16.(2015重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+B.23+C.13+2D.23+2导学号92950832答案:A解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=1312211=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=12212=,所以该几何体的体积V=V1+V2=13+.17.如图,在三棱锥A-
11、BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解:(方法一)(1)证明:AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)由AB平面BCD,得ABBD,AB=BD=1,SABD=12.M是AD的中点,SABM=12SABD=14.由(1)知,CD平面ABD,三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=13SABMh=112.(方法二)(1)同方法一.(2)由AB平面BCD知,平面ABD平面BC
12、D,又平面ABD平面BCD=BD,如图,过点M作MNBD交BD于点N,则MN平面BCD,且MN=12AB=12.又CDBD,BD=CD=1,SBCD=12.三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13ABSBCD-13MNSBCD=112.导学号9295083318.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9779也正确.导学号929508347