1、考点规范练33基本不等式及其应用考点规范练A册第22页基础巩固组1.已知f(x)=x+1x-2(x0),则f(x)有() A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4答案:C解析:x0,b0.若a+b=1,则1a+1b的最小值是()A.2B.14C.4D.8答案:C解析:由题意1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=12时,取等号,所以最小值为4.3.(2015浙江金华十校模拟)已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,
2、则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,m+n=2(a+b)4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案:C解析:由x0,y0,得4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时,等号成立),则12xy+3xy30,即xy2,故xy的最大值为2.5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设底面矩形的长和
3、宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.6.(2015西安一中模拟)设x,yR,a1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12答案:C解析:由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3.又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg 3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.7.已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-
4、y-30,当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.5D.2导学号92950823答案:B解析:约束条件x-y-10,2x-y-30满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=25,则b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5a-4552+4,即当a=455,b=255时,a2+b2有最小值4.8.已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.答案:36解析:由基本不等式可得4x+a
5、x24xax=4a,当且仅当4x=ax即x=a2时等号成立,a2=3,即a=36.9.函数y=x2+2x-1(x1)的最小值为.答案:23+2解析:x1,x-10.y=x2+2x-1=x2-2x+2x+2x-1=x2-2x+1+2(x-1)+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=x-1+3x-1+22(x-1)3x-1+2=23+2.当且仅当x-1=3x-1,即x=1+3时,取等号.10.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若pq0,则提价多的方案是.导学号92950824答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为
6、a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q%)(1+p%)+(1+q%)22=1+p+q2%2,故提价多的是方案乙.11.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab22.证明:因为a,b均为正实数,所以1a2+1b221a21b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时,等号成立,又因为2ab+ab22abab=22,当且仅当2ab=ab时,等号成立,所以1a2+1b2+ab2ab+ab22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时,等号成立.能力提升组12.(2015江西三县部分高中一模)已知不等式x+2x+10的解集为x|a
7、x0,则2m+1n的最小值为()A.42B.8C.9D.12导学号92950825答案:C解析:不等式x+2x+10(x+2)(x+1)0,解得-2x-1.不等式x+2x+10的解集为x|-2x0,2m+1n=(2m+n)2m+1n=5+2nm+2mn5+22nmmn=9,当且仅当m=n=13时取等号.2m+1n的最小值为9.13.(2015安徽宿州模拟)已知a0,b0,若不等式3a+1bma+3b恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24导学号92950826答案:B解析:因为a0,b0,不等式3a+1bma+3b恒成立,所以m(a+3b)3a+1bmin.因为(a+3b)3a
8、+1b=6+9ba+ab6+29baab=12,当且仅当a=3b时取等号.所以m的最大值为12.故选B.14.(2015沈阳四校联考模拟)设x,y满足约束条件3x-y-60,x-y+20,x0,y0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为6,则1a+2b的最小值为.答案:8+433解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示.由z=ax+by(a0,b0)得y=-abx+zb,则直线的斜率k=-ba0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.答案:6解析:由已知,得xy=9-(x+3y),即27-3(x+3y)=3xyx+3y22(当且仅当x=3y时等号成立),令x+3y=t,则
9、t2+12t-1080,解得t6,即x+3y6.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051 000x万元,依题意
10、得:当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250.当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x.则L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000.当且仅当x=10 000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为9501 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.导学号929508284