1、 成都外国语学校2015届11月文科数学试题 出题人：文军 审题人：于开选【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）【题文】1.已知为虚数单位，若为纯虚数，则复数的模等于（） A B C D 【知识点】复数的有关概念；复数运算. L4【答案】【解析】D 解
2、析：由是纯虚数得，所以=，所以z的模等于，故选D.【思路点拨】由为纯虚数得，所以z=，所以z的模等于.【题文】2.如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围为（ ）A B C D 【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】B 解析：由程序框图可知，输出的y值是函数在时的值域，所以输出值的取值范围为，故选B.【思路点拨】由框图得其描述的意义，从而得到输出值的取值范围.【题文】3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A B6 C4 D 【知识点】几何体的三视图；几何体的结构
3、. G1 G2 【答案】【解析】A解析：由三视图可知此几何体是正方体，挖去一个以正方体上底面为底面，正方体的中心为顶点的四棱锥，所以其体积为，故选A.【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【题文】4.下列命题正确的个数是（ ） “在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；命题或，命题则是的必要不充分条件；“”的否定是“”；从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；A1 B2 C3 D4【知识点】命题及其关系；充分条件；必要条件；含量词的命题的否定；抽样方法. A2 A3 I1【答案】【解析】C解析：分A、B是锐角且
4、，和A是钝角且讨论两种情况，得命题正确；利用“若p则q”的逆否命题中，条件与结论的关系判定正确；“”的否定是“”，所以不正确；显然正确.故选C.【思路点拨】利用命题及其关系，充分条、，必要条件的意义，含量词的命题的否定方法，各种抽样方法的意义及其适用的总体特征，逐一分析各命题的正误即可.【题文】5.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A B C D【知识点】等比数列. D3 【答案】【解析】D解析：由，得，所以，故选D.【思路点拨】根据等比数列的通项公式，前n项和公式求解.【题文】6.若函数的图像向右平移个单位后图像关于轴对称，则的最小正值是 （ ）AB1C2D【知识点】平移变换；函数的图与
5、性质. C4【答案】【解析】D 解析：函数的图像向右平移个单位得，这时图像关于轴对称，所以，所以的最小正值是.故选D.【思路点拨】根据平移变换法则得平移后的函数解析式，再由平移后的对称性得关于的方程，进而得到的最小正值.【题文】7.已知实数满足则的最大值为( ) A4 B6 C8 D10【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案】【解析】C解析：画出可行域如图，平移目标函数知，点A（3,2）为取得最大值的最优解，所以的最大值为.故选 C.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数得，使目标函数取得最大值的最优解即可.【题文】8.已知菱形的边长为4，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于
6、1的概率（ ）A. B. C. D. 【知识点】几何概型. K3 【答案】【解析】D解析：以A、B、C、D为圆心1为半径的圆在菱形内的面积为:,(任意两圆相离)，而菱形的面积为8，所以所求概率为，故选D.【思路点拨】先求菱形中，到点A、B、C、D的某一个点的距离小于1的点构成图像的面积，然后利用几何概型求得概率.【题文】9.已知函数与轴相切于点，且极小值为，则（ ）A.12B.15C.13D.16【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值. B11 B12【答案】【解析】B解析：，由题意得方程有两个相等实根，即，=0，得，因为，所以，解得，所以，所以p=6,q=9,从而p+q=15.故选
7、B.【思路点拨】，由题意得方程有两个相等实根，即，再由f(x)有极小值-4得，从而可求得p、q值.【题文】10.已知R上的连续函数g(x)满足：当时，恒成立(为函数的导函数)；对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或【知识点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8【答案】【解析】D解析：由得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.【思路点拨】根据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的
8、周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为，对恒成立.所以只需求在上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以或.【题文】二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）【题文】11.已知函数，则的解集为 【知识点】解对数不等式. E1 B7 【答案】【解析】 解析：.【思路点拨】根据对数函数的单调性求解.【题文】12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_【知识点】用样本估计总体.
9、 I2【答案】【解析】600 解析：根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是.【思路点拨】根据频率分布直方图的意义结论.【题文】13在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_ .【知识点】三角函数中的新概念问题. C1 【答案】【解析】 解析：因为，所以. 所以终边在直线y=x上，所以，当时，；当时，.综上得.【思路点拨】根据题设中的新定义，得终边在直线y=x上，讨论与两种情况得的值.【题文】14.如图，四边形是边长为1的正方形，延长至，使得。动点从点出发，沿正方形的
10、边按逆时针方向运动一周回到点，.则的取值范围为_.【知识点】平面向量基本定理；向量的坐标运算；不等式的性质. F2 E1【答案】【解析】 解析：建立如图所示的坐标系，则B(1，0),E(-2，1),所以.当P时，；当时，；当时，；当时, .综上得的取值范围为.【思路点拨】建立如图所示的坐标系，则B(1，0),E(-2，1),所以，然后对点P在四个边上的位置进行讨论即可得出结论.【题文】15.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出
11、如下四个命题：若，则；若，则；若，则对于任意；对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为_【知识点】平面向量的应用；命题真假的判断；简单的合情推理. F4 A2【答案】【解析】 解析：的横坐标10，的横坐标0=0，且纵坐标10,.是真命题；由向量中“序”的定义可得，具有传递性.故是真命题；，设，则，成立.故是真命题；取，有，但，不满足，故是假命题. 真命题的序号为.【思路点拨】根据平面向量集中“序”关系的定义，逐一分析各命题的真假即可.【题文】三解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）【题文】16（12分）集合，若命题，命题，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。【知识点】两角和
12、与差的三角函数；二次函数在某一区间上的值域；充分条件；必要条件. C5 B5 A2【答案】【解析】 解析：解： -5分故 -6分在为减函数，故，-8分又命题，命题，是必要不充分条件，故-10分且，从而 -12分【思路点拨】先化简集合A、B，由是必要不充分条件得，从而得关于m的不等式组求解.【题文】17.（12分）如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且设。（1）若，求出的取值；（2）用分别表示和，并求出的取值范围.【知识点】余弦定理；基本不等式；解不等式. C8 E3 E6【答案】【解析】(1) ；（2），. 解析：(1
13、)设OB=m, 在AOB中，由余弦定理得：（负值舍去），在AOC中，由余弦定理得：x=.（2）在中，由余弦定理得， 又，所以 ， 7分在中，由余弦定理得， ， 9分 +得，-得，即，10分 又，所以，即， 又，即， 所以 12分【思路点拨】（1）依次在AOB、AOC中使用余弦定理，求得x值；（2）在AOB、AOC中使用余弦定理，得两个等式，这两个等式相加、相减，得用分别表示和的表达式.再由，得x的取值范围.【题文】18（12分）在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值【知识点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】（1）证
14、明：见解析；（2）. 解析：解：（1）由，得，又因为，且，所以面， 4分且面所以，面面.6分（2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 9分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为 12分【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明PMAB，可由ABPPBM证明PMAB；（2）过点作，连结，证明平面平面，过点作，则为直线与平面所成角在四棱锥中，设，则，从而.【题文】19（12分）新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”。到饭店吃饭是吃光
15、盘子或是打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”，政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区25,55岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率光盘族占本组比例第1组25,30)500.0530%第2组30,35)1000.1030%第3组35,40)1500.1540%第4组40,45)2000.2050%第5组45,50)ab65%第6组50,55)2000.2060% （1）求的值，并估计本社区25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例； （2）从年龄段在35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食 宣传活动，并从这8人中选取2人
16、作为领队.求选取的2名领队分别来自35,40)与40,45)两个年龄段的概率。【知识点】用样本估计总体；古典概型. I2 K2 【答案】【解析】（1）a=300，b=0.30；（2） .解析：解：（1） 1分 2分 3分样本中的“光盘族”人数为： 5分样本中的“光盘族”所占的比例为： 6分（2）年龄段在的“光盘族”的人数为人，年龄段在的“光盘族”人数为人，采用分层抽样方法抽取8人中的“光盘族”有3人，在的有5人，记中的3人为，的5人记为，则选取2人做领队有共28种 10分其中分别来自与两个年龄段的有： 共15种11分所以分别来自与两个年龄段的概率 12分【思路点拨】（1）由，；（2）先求出抽取
17、的8人中，的“光盘族”有3人，的有5人，再用列举法写出从这8人中任取2人的所有情况，共28 种，其中，分别来自与两个年龄段的有11种，由此得所求概率.【题文】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；(2) 若函数,求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和.试求出关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立.(不用证明) 【知识点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5【答案】【解析】 解析： （1）点在直线x-y-1=0上，即，且=1数列是以1为首项1为公差的等差数列.，=1也满足，（2）由（1）知，则，是的增函数，函数的最小值是；（3），即，
18、.故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立. 法二：先由n=2,n=3的情况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；（2）判断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式，然后用累加法求得结论.【题文】21. (14分)已知函数.(1)当时,求的单调区间(2)若不等式有解,求实数m的取值菹围；(3)定义：对于函数和在其公共定义域内的任意实数，称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2。【知识点】导数法求函数的单调区间；不等式有解的参数范围求法；函数中的新定义问题. B12
19、 E8【答案】【解析】(1) 当a=0时，f(x)在上单调递增. 当a0时，f(x)在上单调递增，f(x)在单调递减；（2）m0；（3）证明：见解析. 解析：(1) 的定义域是，当a=0时，f(x)在上单调递增；-1分当a0时，由，解得，则当时，f(x)单调递增，当时，f(x)单调递减，-3分综上所述：当a=0时，f(x)在上单调递增. 当a0时，f(x)在上单调递增，f(x)在单调递减.(2)由题意：有解，即有解，因此只需有解即可，-5分设，-6分，且时，即.故在单调递减，-8分故m1恒成立，n(x)2，在上恒成立. 为此把函数q(x)构造成：，即把q(x)化为两函数与的差.利用导数求得m(x)1恒成立，n(x)-1恒成立，所以恒成立，所以当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2.