1、滚动测试卷三(第一八章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第9页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集为R,集合A=x12x1,B=x|x2-6x+80,则ARB=() A.x|x0B.x|2x4C.x|0x4D.x|0x2或x4答案:C解析:由题意知集合A=x12x1=x|x0,集合B=x|x2-6x+80=x|2x4,RB=x|x4.因此ARB=x|0x4.2.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为()A.16B.8C.4D.2答案:C解析:由三视图可得实物图如图所示:可知D到A,B,C,P的距离都为1,即三棱锥外接球的球心为D,半径为1,故
2、其表面积为4.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a,b的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案:C解析:(2a+b)b=0,(2a+b)b=b2+2ab=0,即|b|2=-2ab.又|a|=|b|,|b|2=|a|b|=-2ab.设向量a与b的夹角为,由cos =ab|a|b|,易得:cos =-12,则=120.4.已知f(x)=sin x-x,命题p:任意x0,2,f(x)0D.p是真命题,p:存在x00,2,f(x0)0答案:D解析:f(x)=sin x-x,f(x)=cos x-10.f(x)是定义域上的减函数,f(x)f(0
3、)=0.命题p:任意x0,2,f(x)0,是真命题;该命题的否定是p:存在x00,2,f(x0)0.5.在ABC中,AB=3,BC=3,ABC=23,若使ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A.6B.5C.4D.274答案:D解析:作ADBC交直线BC于点D,则有AD=3sin3=332,将ABC绕直线BC旋转一周所得到的几何体可视为从一个以AD为底面半径、CD为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、BD为高的圆锥后所剩余部分,因此所求几何体的体积等于13AD2(BC+BD)-13AD2BD=13AD2BC=1333223=274.6.在ABC中,角A,B,
4、C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则ab=()A.2B.12C.2D.1答案:A解析:bcos C+ccos B=2b,sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A=2sin B,sinAsinB=2.由正弦定理知asinA=bsinB,ab=sinAsinB=2.7.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则d0D.若对任意nN+,均有Sn0,则数列Sn是递增数列导学号92950977答案:C解析:A.当d0,数列Sn为递增数列,数列Sn不可
5、能有最大项,要使前n项和有最大项,则必有公差小于0,故B正确;C.若首项为负,则有S1k时,以后所有项均为负数,不能保证对任意nN+,均有Sn0,因此,若要使任意nN+,均有Sn0,则数列Sn必须是递增数列,故D正确.8.若函数f(x)=log2x,x0,log12(-x),x0,若af(-a)0,log12(-x),x0的图像如下,可知f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x).故af(-a)0,即a与f(a)同号,故a1或a0)的图像如图所示,为了得到函数y=cos2x+6的图像,只需将y=f(x)的图像()A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位答
6、案:C解析:由题图可知f(x)=sin(x+)(0)的周期T=256-3=2,=2.又23+=,=3.f(x)=sin2x+3=cos2-2x+3=cos6-2x=cos2x-6;fx+6=cos2x+6-6=cos2x+6;为了得到函数y=cos2x+6的图像,只需将y=f(x)的图像向左平移6个单位.10.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域x+y2,x1,y2上的一个动点,则OAOM的取值范围是()A.-1,0B.0,1C.0,2D.-1,2导学号92950978答案:C解析:由题意不等式组x+y2,x1,y2表示的平面区域如图所示:由数量积的坐标运算可得:OA
7、OM=-x+y,令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z过点B(1,1)时,zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时,zmax=2,故OAOM的取值范围是0,2.11.若等比数列an的各项均为正数,且a7a11+a8a10=2e4,则ln a1+ln a2+ln a3+ln a17=()A.31B.32C.34D.36答案:C解析:数列an为等比数列,且a7a11+a8a10=2e4,a7a11+a8a10=2a8a10=2e4.a8a10=e4.ln a1+ln a2+ln a17=ln(a1a2a17)=34.12.已知偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-
8、1),且当x-1,0时,f(x)=3x+49,则f(log135)的值等于()A.-1B.2950C.10145D.1答案:D解析:偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),f(x+2)=f(x),周期为2.当x-1,0时,f(x)=3x+49,又log135=-log35(-2,-1),2-log35(0,1),f(log135)=f(2-log35)=f(log35-2)=3log35-2+49=59+49=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tan =12,则(sin+cos)2cos2=.答案:3解析:(sin +cos )2=sin2+2sin
9、 cos +cos2,cos 2=cos2-sin2,(sin+cos)2cos2=sin2+2sincos+cos2cos2-sin2=1cos2(sin2+2sincos+cos2)1cos2(cos2-sin2)=tan2+2tan+11-tan2=122+212+11-122=3.14.在ABC中,BC=3 BD,ADAB,|AD|=1,则ACAD=.答案:3解析:在ABC中,BC=3BD,ACAD=(AB+BC)AD=(AB+3BD)AD.又BD=AD-AB,ACAD=(1-3)AB+3ADAD=(1-3)ABAD+3ADAD=(1-3)ABAD+3|AD|2.又ADAB,即ADAB
10、,ADAB=0,且|AD|=1,ACAD=(1-3)0+31=3.15.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.答案:14解析:由BC=22得AB=a1=2AA1=a2=2A1A2=a3=222=1,由此可归纳出an是以a1=2为首项,22为公比的等比数列,因此a7=a1q6=2226=14.16.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则
11、平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于.导学号92950979答案:23解析:补全截面图形如图中AEFG,且D1G=2GD(AGEF).延长FG与CD交于H,则AH为面AEF与面ABC的交线.GD面ABC,作DMAH于M,连接GM,则GMD为二面角的平面角.设正方体棱长为a,GD=12FC=1223a=13a,DM=DHADAH=aa2a=22a,tanGMD=GDDM=13a22a=23.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-3),n=cos2B,2cos 2B2-1,且mn.(1)求锐角B的大小
12、;(2)如果b=2,求SABC的最大值.解:(1)mn,2sin B2cos2B2-1=-3cos 2B,sin 2B=-3cos 2B,即tan 2B=-3.又B为锐角,2B(0,),2B=23,B=3.(2)B=3,b=2,由余弦定理cos B=a2+c2-b22ac,得a2+c2-ac-4=0.又a2+c22ac,代入上式,得ac4,当且仅当a=c=2时等号成立.故SABC=12acsin B=34ac3,当且仅当a=c=2时等号成立,即SABC的最大值为3.18.(12分)已知函数f(x)=(23cos x+sin x)sin x-sin22+x(0),且函数y=f(x)的图像的一个对
13、称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间0,2上的值域.解:(1)f(x)=23cos xsin x+sin2x-cos2x=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6.由函数y=f(x)的对称中心到最近的对称轴的距离为4,知T4=4,即T=,22=,=1,所以f(x)=2sin2x-6.由-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为-6+k,3+k,kZ.(2)因为0x2,所以-62x-656.所以-12sin2x-61.所以-1f(x)2.所以函数f(x)的值域为-1,2.19.(12
14、分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:方法一(向量方法):以D为原点,分别以DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0
15、,),FE=(1,1,0).(1)证明:当=1时,FP=(-1,0,1).因为BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由FEn=0,FPn=0,可得x+y=0,-x+z=0.于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=122.故存在=122,使平面EFPQ与平面PQMN所成的
16、二面角为直二面角.方法二(几何法):(1)证明:如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,且EF=12BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQBD,且PQ=BD,从而EFPQ,且EF=12PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因为BQ=DP=,BE=DF=1,于是EQ=FP=1+2,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形P
17、QMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接EM,FN,则由EFMN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-222=2+12,OG2=1+(2-)2-222=(2-)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=122.故存在=122,使平面EFPQ与平面
18、PQMN所成的二面角为直二面角.导学号9295098020.(12分)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且在前n项和中S4最大.(1)求an的通项公式;(2)设bn=13-an3n+1,nN+.求证:bn+1bn13;求数列b2n的前n项和Tn.解:(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差d为整数,又SnS4,故a40,a50,即10+3d0,10+4d0,解得-103d-52,因此d=-3,数列an的通项公式为an=13-3n.(2)由题意知bn=3n3n+1=n3n,bn+1-bn=1-2n3n+10,数列bn是单调递减数列,bn的最大项为b1=13,b
19、n+1bn13.Tn=29+492+693+2n9n,19Tn=292+493+694+2n9n+1,两式相减得:8Tn9=291+292+293+2n9n+1=291-19n1-19-2n9n+1=1-19n4-2n9n+1.Tn=932-9+8n329n.21.(12分)(2015重庆,理19)如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=2.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)证明:DE平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE.由CE=2,CD=DE=2得CDE为等腰直角
20、三角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD.(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE=4.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=2得DFAC,DFAC=FBBC=23,故AC=32DF=32.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A32,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3),DA=12,-1,0.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,
21、z1),由n1DP=0,n1DA=0,得-x1-y1+3z1=0,12x1-y1=0,故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为ED,即n2=(1,-1,0).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=n1n2|n1|n2|=36,故所求二面角A-PD-C的余弦值为36.导学号9295098122.(12分)设函数f(x)=ax-2-ln x(aR).(1)若f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey-2e=0,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)当x0时,求证:f(x)-ax+ex0.解:(1)f(x)=ax-2-ln x(x0),f(
22、x)=a-1x=ax-1x.又f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey-2e=0,f(e)=a-1e=1e,故a=2e.(2)由(1)知,f(x)=a-1x=ax-1x(x0).当a0时,f(x)0时,令f(x)=0,则x=1a.令f(x)0,则0x0,则x1a.f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增,综上可得:当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,+),当a0时,f(x)的单调递减区间为0,1a,f(x)的单调递增区间为1a,+.(3)当x0时,要证f(x)-ax+ex0,即证ex-ln x-20,令g(x)=ex-ln x-2(x0),只需证g(x)0.g(x)=ex-1x,由指数函数和幂函数的单调性知,g(x)在(0,+)上递增,又g(1)=e-10,g13=e13-30,g(1)g130,g(x)在13,1内存在唯一的零点,则g(x)在(0,+)上有唯一零点.设g(x)的零点为t,则g(t)=et-1t=0,即et=1t13t1,由g(x)的单调性知,当x(0,t)时,g(x)g(t)=0;g(x)在(0,t)上为减函数,在(t,+)上为增函数,当x0时,g(x)g(t)=et-ln t-2=1t-ln1et-2=1t+t-22-2=0.又13t0,当x0时,f(x)-ax+ex0.导学号92950982
