1、 圆的方程高考试题考点一 求圆的方程1.(2011年安徽卷,文4)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()(A)-1(B)1 (C)3 (D)-3解析:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),由题意,3(-1)+2+a=0,a=1.答案:B2.(2009年辽宁卷,文7)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()(A)(x+1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2(D)(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),则=,解得a
2、=1,故圆心坐标为(1,-1),半径r=,所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:B3.(2010年广东卷,文6)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()(A)(x-)2+y2=5(B)(x+)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5解析:设圆心为(a,0)(a1,所以圆心O到直线ax+by=1的距离d=0,得k23.所以,k的取值范围是(-,- )(,+).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2).又|OQ
3、|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=及k23,可知0m20,所以n=.于是,n与m的函数关系为n=(m(-,0)(0, ).18.(2011年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
4、故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组消去y,得方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式=56-16a-4a20.从而x1+x2=4-a,x1x2=.由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由得a=-1,满足0,故a=-1.考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2012年山东卷,文9)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-
5、2)2+(y-1)2=9的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:两圆圆心、半径分别为(-2,0),2和(2,1),3,两圆圆心之间的距离d=,且3-2d0),由圆C与y=0相切得圆C的半径r1=y,圆x2+(y-3)2=1的圆心为(0,3),半径r2=1.由题意得=1+y,化简得8y=x2+8,即y=x2+1,圆心的轨迹是抛物线.答案:A3.(2011年大纲全国卷,文11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()(A)4 (B)4 (C)8 (D)8解析:两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),两圆圆心均在第一象限且横、
6、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,a+b=10,ab=17.(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32,|C1C2|=8.答案:C4.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到k
7、x-y-2=0的距离应不大于2,即2.整理,得3k2-4k0,解得0k.故k的最大值为.答案:5.(2009年天津卷,文14)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为2,则a=.解析:x2+y2+2ay=6,x2+y2=4,两式相减得y=.联立消去y得x2=(a0),2=2,解得a=1.答案:16.(2009年江苏卷,18)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的
8、直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d=1.由点到直线的距离公式得d=1,从而k(24k+7)=0.即k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a).因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被
9、圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件.模拟试题考点一 求圆的方程1.(2012北京顺义三模)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12,则圆C的方程为()(A) +y2=(B) +y2=
10、(C)x2+=(D)x2+=解析:圆C关于y轴对称,圆心在y轴上,因为圆被x轴分成两段弧长之比为12,故被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,|a|=,即a=,所以圆的方程为x2+=.答案:C2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程是()(A) +(y+1)2=(B) +(y-1)2=(C) +(y-1)2=(D) +(y+1)2=解析:设圆心(a,b),由题意可知a3,圆与直线x=3相切,圆的半径为3-a,又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切,=|3-a
11、-1|,即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2,整理得a=-b2-b.半径r=3-a=3-+b2+b=b2+b+.当b=-=-1时,半径r取到最小值,此时a=.即圆心坐标为（,-1）,半径是,圆的方程为（x-）2+(y+1)2=.答案:A考点二 直线与圆的位置关系的判定及应用1.(2013山东临沂高三期中)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是()(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:圆C的圆心C坐标为(-1,2),半径r=,由题意,点C在直线2ax+by+6=0上,即有-2a+2b+6=0.a=b+3.切
12、线长l =.当b=-=-1时,切线长最小为4.答案:C2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是.解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0),半径r=3.直线与圆相交,0,解得a0或a0或a-得-1x00或0x02.答案:(-1,0)(0,2)考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2012银川一模)若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)外切,则a+b的最大值为()(A)-3
13、(B)-3 (C)3 (D)3解析:圆C1的圆心坐标(-a,0),半径是2;圆C2的圆心坐标是(0,b),半径是1.由题意可得=3,即a2+b2=9.(a+b)2=a2+b2+2ab2(a2+b2)=18,当且仅当a=b=时取等号.a+b的最大值为3.答案:D2.(2011苏州调研)已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围是.解析:圆x2+y2=m的圆心(0,0),半径,圆x2+y2+6x-8y-11=0的圆心(-3,4),半径r=6,由题意得|-6|+6.解得1m121.答案:(1,121)综合检测1.(2013合肥三模)若函数y=x2-x+的图象在点
14、M(0, )处的切线l与圆C:x2+y2=1相交,则点P(m,n)与圆C的位置关系是()(A)P在圆内(B)P在圆内或圆外(C)P在圆上(D)P在圆外解析:y=2x-,k切线=y|x=0=-.切线方程为y-=-(x-0),即mx+ny-1=0.l与圆相交,1.点P(m,n)在圆外.答案:D2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线x-y=0截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是()(A)(B)(C)(D)解析:圆心(2,0)到直线x-y=0的距离d=1,弦长l=2=2,劣弧所对圆心角为120.答案:D3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为.解析:过点M有且只有一条直线与圆O相切,M(1,a)在圆x2+y2=4上,即1+a2=4,解得a=.当a=时,M(1, ),kOM=,k切线=-.切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.当a=-时,M(1,- ),kOM=-,k切线=.切线方程为y+=(x-1),即x-y-4=0.答案:x+y-4=0或x-y-4=0