1、第2课时 指数函数及其性质的应用能力形成合作探究类型一 指数函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理)角度 1 比较大小【典例】已知 a1.50.5，b0.51.5，c0.50.5，则()Aabc Bacb Cbac Dcab【思路导引】同底数的利用单调性比较，不同底数的与 1 比较【解析】选 B.a1.50.51，00.51.50.50.5cb.角度 2 解简单的指数不等式【典例】使不等式 92x1323 成立的 x 的集合是()A，78 B，34C78，D34，【思路导引】化同底后利用单调性解不等式【解析】选 A.不等式即 34x2323，可得 4x232，解得 x0，且 a1)，即 a2x1
2、1 时，指数函数 yax 是增函数，由 2x132，解得 x54；当 0a32，解得 x54.角度 3 函数 yaf(x)的单调性、值域【典例】求函数2x+x+21y=2的单调递增区间、值域【思路导引】(1)结合 y12t的单调性，求二次函数 tx2x2 的减区间(2)利用换元法求值域【解析】令 tx2x2，则 y12t，因为 tx12294，可得 t 的减区间为12，因为函数 y12t在 R 上是减函数，所以函数2x+x+21y=2的单调递增区间为12，.又 t94，所以12t9412，所以函数 y12x2x2 的值域为9412，.1利用单调性比较大小(1)底数相同的直接利用单调性(2)底数
3、、指数都不同的把 1 作为中间量比较(3)底数不同、指数相同的借助图象间的关系比较2关于指数不等式注意两点：(1)化同底(2)利用单调性转化成不等式，单调性不能确定的要分类讨论3复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层 yat，内层 tf(x).(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数(3)值域复合：先求内层 t 的值域，再利用单调性求 yat 的值域1设 y140.9，y280.48，y3121.5，则()Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2【解析】选 D.由幂的运算性质可得，y140.921.8，y280.48
4、21.44，y3121.521.5，再由 y2x 是增函数，知 y1y3y2.2函数 f(x)23x22x 的单调递减区间是_，值域是_.【解析】令 tx22x(x1)21，则 f(x)23t，利用二次函数的性质可得函数 t的单调递增区间为1，)，所以函数 f(x)2x2x23的单调递减区间是1，)；因为 t1，所以 f(x)32，所以函数 f(x)2x2x23的值域为0，32.答案：1，)0，32【补偿训练】1已知 a1335，b1435，c3432，则 a，b，c 的大小关系是()Acab BabcCbac Dcba【解析】选 D.对于指数函数 yax，若 x0，则当 0a1；当 a1 时
5、，有 0ax1，所以 034321，14351.又因为函数 y35x在 R 上是减函数，且13 1435综上知，133514353432，即 cb11 000；当 n8时，y 2100 238128164 025 11 000，所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求题后反思(1)与实际生活有关的问题，在求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出函数模型，进而转化为数学问题(2)在实际问题中，经常会遇到指数式增长模型：设基数为N，平均增长率为 p，则对于经过时间 x 后的总量 y 可以用 yN(1p)x 来表示，这是非常有用的函数模型 解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键
6、字词和字母的意义，从题意中提取信息(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式(3)解模：运用数学知识解决问题(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的18 时，荷叶已生长了多少天？【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1，则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系为 y2x1，当 x20 时，长满水面，这时 y219，水面面积的18 为18 2192162171.所以生长 17 天荷叶覆盖水面面积的18.类型三 指数函数性质的综合应用【
7、典例】1.已知函数 f(x)（2a）x1，x0 成立，则实数 a 的取值范围是()A1，53 B53，2 C(1，2)D(0，)2已知函数 f(x)xxa 2112g是 R 上的奇函数(1)判断并证明 f(x)的单调性(2)若对任意实数 x，不等式 f(f(x)f(3m)0 恒成立，求 m 的取值范围【思路导引】1.先判断函数的单调性，再求参数的范围2(1)先根据奇偶性求出 a 的值，再根据定义判断、证明单调性(2)利用函数的性质转化不等式，分离出 m 后求范围【解析】1.选 B.由题意得 f(x)在 R 上递增，故2a0，a1，2（2a）1a，解得53 a2.2(1)因为 f(x)为 R 上
8、的奇函数，所以 f(0)0，即a120，由此得 a1，所以 f(x)2x12x1 122x1，所以 f(x)为 R 上的增函数证明：设 x1x2，则 f(x1)f(x2)11x221 2x21212x221 1x221，因为 x1x2，所以2x221 1x221 0，所以 f(x1)f(3m)，即 f(f(x)f(m3)，又因为 f(x)为 R 上的增函数，所以 f(x)m3，由此可得不等式 m02x11022x1 2222x1 02422x1 x0的单调性(1)增函数：f(x)，g(x)均为增函数，且 f(x0)g(x0).(2)减函数：f(x)，g(x)均为减函数，且 f(x0)g(x0)
9、.2含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小 设 a0，函数 f(x)4xa a4x 是定义域为 R 的偶函数(1)求实数 a 的值；(2)求 f(x)在1，3上的值域【解析】(1)由 f(x)f(x)得4xa a4x 4xa a4x，即 4x1aa 14x a1a0，所以4x 14x1aa0，根据题意，可得1a a0，又 a0，所以 a1.(2)由(1)可知 f(x)4x 14x，设任意的 x1，x2(0，)，令 x1x2，则 f(x1)f(
10、x2)1x4 1x142x42x1412xx(44)12xx114.因为 0 x1x2，所以12xx44，所以12xx440，所以12xx441，所以 112xx141212xxxx414 0，所以 f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，则满足 fx1f()2x的 x 的取值范围是()A，1 B0，C1，0D，0【解析】选 D.取 x12，则不等式化为 f12f(1)，成立，排除 A，B；取 x1，则化为 f(0)f(2)，成立，排除 C，故选 D.学情诊断课堂测评1若指数函数 y(13a)x 在 R 上为单调递增函数，则实数 a 的取值范围为()A0，13 B(1，)CRD(，0)【解析】
11、选 D.因为指数函数 y(13a)x 在 R 上为单调递增函数，所以 13a1，所以 a0.2下列大小关系正确的是()A0.9330.90 B0.93030.9C30.90.930 D030.90.93【解析】选 B.因为 01，0.931，30.9301，所以 0.93030.9.3函数 y121x的单调递增区间为()A(，)B(0，)C(1，)D(0，1)【解析】选 A.定义域为 R.设 u1x，y12u.因为 u1x 在(，)上为减函数，又因为 y12u在(，)上为减函数，所以 y121x在(，)上为增函数4不等式 232x0.53x4 的解集为_【解析】原不等式可化为 232x243x，因为函数 y2x 是 R 上的增函数，所以 32x43x，解得 x1，则不等式的解集为x|x1答案：x|x0，且 a1).【解析】(1)因为函数 y1.8x 是 R 上的增函数，且0.10.2，所以 1.80.11.80.2.(2)因为 1.90.31.901，0.73.10.73.1.(3)当 a1 时，函数 yax 是 R 上的增函数，又 1.32.5，故 a1.3a2.5；当 0a1 时，函数 yax 是 R 上的减函数，又 1.3a2.5.