1、2016年吉林省白山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若=a+bi（a，bR，i为虚数单位），则ab等于（）AB1C0D12设集合A=0，1，集合B=x|xa，若AB=，则实数a的范围是（）Aa1Ba1Ca0Da03下列函数中，不是偶函数的是（）Ay=x2+4By=|tanx|Cy=cos2xDy=3x3x4“x1”是“lgx1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A7B9C11D166若直线3x4ym=0（m0）与圆（x3）2+（y4）2=4相切，则实数m的值为（
2、）A3B4C5D67函数f（x）=的图象大致为（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为的圆，则该几何体的表面积是（）A14B12C10D89要得到函数y=cos（3x）的图象，只需将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位10矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（）A2，14B0，12C0，6D2，811已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（）ABCD12已知f（x
3、）对任意x0，+）都有f（x+1）=f（x），且当x0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）loga（x+1）（0a1）在区间0，4上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A，B，）C，）D，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若变量x，y满足约束条件，则z=3x2y的最大值为14已知sin=+cos，且（0，），则的值为15某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为16若函数f（x）=ax在（0，+）上递增，则实数a的取值范围是三、解答题
4、（共6小题，满分70分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小；（2）若c=2，且ab=，求证：sinA=sinB18已知数列an满足： +=（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan+1，Sn为数列bn的前n项和，对于任意的正整数n，Sn2恒成立，求Sn及实数的取值范围19某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制成
5、如图所示的频率分布直方图（）求直方图中x的值；（）求续驶里程在200，300的车辆数；（）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率20在三棱锥PABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA平面ABC（1）证明：BCPB；（2）若D为AC的中点，且PA=2AB=4，求点D到平面PBC的距离21已知关于x的函数（1）如果函数，求b、c；（2）设当x（，3）时，函数y=f（x）c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k2，求实数b的取值范围22已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（1，），一个焦点为（，0）（）求椭圆C的方
6、程；（）若直线y=k（x1）（k0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围2016年吉林省白山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若=a+bi（a，bR，i为虚数单位），则ab等于（）AB1C0D1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解： =a+bi（a，bR，i为虚数单位），a=，b=则ab=1故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2设集合A=0，1，集合B
7、=x|xa，若AB=，则实数a的范围是（）Aa1Ba1Ca0Da0【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由AB=，可知集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，即得答案【解答】解：集合A=0，1，集合B=x|xa，且AB=，集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，从而a1，故选：B【点评】本题考查集合的运算，弄清交集的定义是解决本题的关键，属基础题3下列函数中，不是偶函数的是（）Ay=x2+4By=|tanx|Cy=cos2xDy=3x3x【考点】函数奇偶性的判断【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】逐一判断各个选项中所给函数的奇偶性，从而得出结论【解答】解：对于所给的4个
8、函数，它们的定义域都关于原点对称，选项A、B、C中的函数都满足f（x）=f（x），故他们都是偶函数，对于选项D中的函数，满足f（x）=f（x），故此函数为奇函数，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题4“x1”是“lgx1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】lgx1，解得x10即可判断出【解答】解：lgx1，解得x10“x1”是“lgx1”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计
9、算能力，属于基础题5当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A7B9C11D16【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=4时，不满足条件m4，退出循环，输出S的值，从而得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=4，m=1，S=1满足条件m4，S=1+1=2，m=1+1=2满足条件m4，S=2+2=4，m=2+1=3满足条件m4，S=4+3=7，m=3+1=4不满足条件m4，退出循环，输出S的值为7故选：A【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值
10、是解题的关键，属于基本知识的考查6若直线3x4ym=0（m0）与圆（x3）2+（y4）2=4相切，则实数m的值为（）A3B4C5D6【考点】圆的切线方程【专题】转化思想；综合法；直线与圆【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，求得m的值【解答】解：直线3x4ym=0（m0）与圆（x3）2+（y4）2=4相切，圆心（3，4）到直线3x4ym=0的距离等于半径2，即=2，求得m=3，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题7函数f（x）=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先研究函数的性质，可以发现
11、它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为的圆，则该几何体的表面积是（）A14B12C10D8【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；分割补形法；立体几何【分析】几何体是球体切去后余下的部分，球的
12、半径为，代入球的表面积公式可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为，几何体的表面积S=（1）4（）2+（）2=8故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题，解答本题的关键是得到该几何体的形状，是基础题9要得到函数y=cos（3x）的图象，只需将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数y=cos（3x）=sin（3x+）
13、=sin（3x+），将函数y=sin3x的图象向左平移个单位，可得y=sin3（x+）=sin（3x+）的图象，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题10矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（）A2，14B0，12C0，6D2，8【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】先建立坐标系，根据向量的数量积运算得到=2x+2，利用函数的单调性即可求出答案【解答】解：如图所示，A（0，0），E（2，1），设F（x，2），（0x2）=（2，1），=（x，
14、2），=2x+2，设f（x）=2x+2，（0x2），f（x）为增函数，f（0）=2，f（2）=14，2f（x）14，故则的取值范围2，14，故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积运算，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题11已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可先画出图形，得出F（），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P点的横坐标，带入抛物线方程便可求出
15、P点的纵坐标，这样即可得出A点的坐标，从而求出直线AF的斜率，根据斜率便可得出直线AF的倾斜角【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；P点的横坐标为；，P在第一象限；P点的纵坐标为；A点的坐标为；AF的斜率为；AF的倾斜角为故选：D【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及抛物线的定义，抛物线上的点的坐标和抛物线方程的关系，以及由直线上两点的坐标求直线的斜率的公式，直线的斜率的定义，已知正切值求角12已知f（x）对任意x0，+）都有f（x+1）=f（x），且当x0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）loga（x+1）（0a1）在区间0，4上有两个零点，
16、则实数a的取值范围是（）A，B，）C，）D，【考点】函数零点的判定定理；抽象函数及其应用【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据f（x）的周期和0，1）的解析式画出f（x）在0，4的图象，根据图象交点个数列出不等式组解出a的范围【解答】解：f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x+1）=f（x），f（x）的周期为2当x1，2）时，x10，1），f（x）=f（x+1）=f（x1）=（x1）=1x作出f（x）和y=loga（x+1）的函数图象如图：函数g（x）=f（x）loga（x+1）（0a1）在区间0，4上有两个零点，loga（2+1）1，loga（4+1）1解得
17、a故选C【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数零点个数的判断，作出f（x）的图象是关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若变量x，y满足约束条件，则z=3x2y的最大值为4【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；数形结合；不等式【分析】由题意作平面区域，化简z=3x2y为y=x，从而可得是直线y=x的截距，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=3x2y为y=x，是直线y=x的截距，故过点A（4，4）时，z=3x2y有最大值为3424=4，故答案为：4【点评】本题考查了线性规划的解法及数形结合的思想应用14已知sin=+cos，且（0，），则的值为【考点】三角函数
18、的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：sin=+cos，即sincos=，=，故答案为：【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题15某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为37【考点】线性回归方程【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】设数据的值为a，利用回归直线方程恒过样本中心点，求出a【解答】解：设数据的值为a，依题意知
19、， =3.5， =（131+a），利用回归直线方程恒过样本中心点，（131+a）=3.59.4+9.1，a=37，故答案为：37【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键16若函数f（x）=ax在（0，+）上递增，则实数a的取值范围是（，2【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可得到结论【解答】解：要使函数f（x）=ax在（0，+）上递增，则f（x）0恒成立，即x2+a0即，x2+a，当x0时，x2+2=2，当且仅当x2=时，取等号，故a2，故答案为：（，
20、2【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键三、解答题（共6小题，满分70分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小；（2）若c=2，且ab=，求证：sinA=sinB【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得：sinA（2cosC+1）=0，由sinA0，可得cosC=，结合范围C（0，），即可解得C的值（2）由余弦定理可得：4=a2+b2+ab=（ab）2+4，解得a=b，由正弦定理即可得解sinA=sin
21、B【解答】（本题满分为10分）解：（1）=利用诱导公式及正弦定理可得： =，2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即：2sinAcosC+sinA=0，整理可得：sinA（2cosC+1）=0，sinA0，可得：cosC=，由C（0，），可得：C=5分（2）证明：C=，c=2，且ab=，由余弦定理：c2=a2+b22abcosC可得：4=a2+b2+ab=（ab）2+3ab=（ab）2+4，解得：（ab）2=0，解得：a=b，由正弦定理可得：sinA=sinB10分【点评】本题主要考查了诱导公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和
22、转化思想，属于中档题18已知数列an满足： +=（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan+1，Sn为数列bn的前n项和，对于任意的正整数n，Sn2恒成立，求Sn及实数的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推关系即可得出an（2）利用“裂项求和”可得Sn，再利用数列的单调性与不等式的性质即可得出【解答】解：（1）+=（nN*），当n=1时， =，解得a1=2当n2时， +=（nN*）=，解得an=，当n=1时也成立（2）bn=anan+1=2数列bn的前n项和Sn=+=2，对于任意的正整数n，Sn2恒成立，实
23、数的取值范围是【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”、数列的单调性与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求直方图中x的值；（）求续驶里程在200，300的车辆数；（）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率【考点】古典概型及
24、其概率计算公式；频率分布直方图【专题】计算题；概率与统计【分析】（I）利用小矩形的面积和为1，求得x值；（II）求得续驶里程在200，300的车辆的频率，再利用频数=频率样本容量求车辆数；（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算【解答】解：（）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）50=1，x=0.003；（）由题意可知，续驶里程在200，300的车辆数为：20（0.00350+0.00250）=5；（）由（）及题意可知，续驶里程在200，250）的车辆数为3，
25、续驶里程在250，300的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法有=6种，恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率为=【点评】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高组距=20在三棱锥PABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA平面ABC（1）证明：BCPB；（2）若D为AC的中点，且PA=2AB=4，求点D到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离【分析】（1）推导出BC
26、AB，BCPA，由此能证明BCPB（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PBC的距离【解答】证明：（1）底面ABC为直角三角形，AB=BC，BCAB，PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，ABPA=A，BCPB解：（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，1，0），=（1，1，0），=（0，2，4），=（2，0，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，1），点D到平面
27、PBC的距离d=【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21已知关于x的函数（1）如果函数，求b、c；（2）设当x（，3）时，函数y=f（x）c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k2，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得f（1）=，f（1）=0，解方程可得b，c，检验是否由极值点；（2）求得函数y=f（x）c（x+b）=x3+bx2，求出导数，由题意可得2bx+的最
28、小值，运用基本不等式可得右边函数的最小值，即可得到a的范围【解答】解：（1）函数导数为f（x）=x2+2bx+c，函数，可得f（1）=，f（1）=0，即为1+2b+c=0， +b+c+bc=，解得b=1，c=1；b=1，c=3当b=1，c=1时，f（x）=x2+2x1=（x1）20，f（x）递减，不满足题意；当b=1，c=3时，f（x）=x22x+3=（x1）（x+3），满足题意综上可得，b=1，c=3：（2）函数y=f（x）c（x+b）=x3+bx2，导数f（x）=x2+2bx，由题意可得x2+2bx2在x（，3）时恒成立，即有2bx+的最小值，由x+2=2，当且仅当x=时，取得最小值2即有
29、2b2，解得b，则b的范围是（，【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题22已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（1，），一个焦点为（，0）（）求椭圆C的方程；（）若直线y=k（x1）（k0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，
30、B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围【解答】解：（）由题意得，解得a=2，b=1椭圆C的方程是；（）联立，得（1+4k2）x28k2x+4k24=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），又=于是，k0，的取值范围为【点评】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题