1、本章复习提升易混易错练易错点1忽视函数定义域致错1.()下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是(易错)A.f(x)=x,g(x)=x2xB.f(x)=x,g(x)=|x|C.f(x)=|x|,g(x)=x2D.f(x)=|x|,g(x)=x,x0-x,xf(a+3),则实数a的取值范围为.易错5.()判断函数f(x)=(1+x)1-x1+x的奇偶性.易错易错点2忽视分段函数中定义域“临界点”致错6.()如果f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-10的解集是()A.x0x52B.x-32x0C.xx-32或0x52D.x-32x0或0x52
2、7.(2020天津滨海新区塘沽一中高一期中,)已知函数f(x)=(2a-1)x+3a,x2,ax,x2满足对任意的实数x1x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x20时, f(x)为增函数,若f(2)=0,则x|f(x-2)0=()A.x|0x4B.x|x4C.x|x6D.x|x22.(2021江苏如皋江安高级中学高一月考,)函数y=|x2-4x|的单调递减区间为.二、分类讨论思想在函数中的应用3.()已知定义在-2,2上的函数f(x)=x2-2ax+3.(1)当a=1时,求f(x)的最值;(2)若f(x)的最大值为M,设函数g(a)=M,求g(a)的表达式.4.(2021江苏泰州中学高一月
3、考,)已知函数f(x)=(x-1)|x-a|.(1)若a=32,求f(x)在x0,2上的最大值;(2)若f(x)|ax-1|在x0,2上恒成立,求实数a的取值范围.三、方程思想在函数中的应用5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)满足2f(x)=xf 1x+1x,则f(3)=()A.3B.299C.239D.136.(2021江苏溧阳中学高一期中,)已知函数f(x)=(x+2)(x+a)x2为偶函数.(1)求实数a的值;(2)当x1m,1n(mn0)时,函数f(x)的值域为2-5m,2-5n,求m,n的值.四、转化与化归思想在函数中的应用7.(2021山西太原高一上期中,)已知
4、函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时, f(x)=x+x+1,则f(x)3的解集是()A.0,1B.-1,1C.-2,1D.(-,-11,+)8.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意xm,+),都有f(x)89,则m的取值范围是()A.23,+B.34,+C.54,+D.43,+答案全解全析本章复习提升易混易错练1.CA中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为x|x0,不符合题意;B中, f(-1)=-1g(-1)=1,不符合题意;C中,|x|=x2,xR,符合题
5、意;D中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为x|x0,不符合题意.故选C.易错警示判断两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相同,若定义域不同,则不是同一个函数;定义域相同时,再判断对应关系是否相同.忽视对定义域的判断可能会导致判断错误.2.C因为函数f(x)的定义域是-2,3,所以-2x3,要使f(2x-3)有意义,只需-22x-33,解得12x3.所以f(2x-3)的定义域是12,3.故选C.3.答案x2-1(x1)解析令t=x+1,则t1,且x=(t-1)2,则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x1).易错警示已知f(g(
6、x)求f(x)的解析式时,要注意写出所求函数的定义域,此时f(x)的定义域为g(x)的值域,解题时不能忽略.4.答案(-3,-1)(3,+)解析f(x)为(0,+)上的增函数,f(a2-a)f(a+3),a2-aa+30,即a2-2a-30,a2-a0,a+30, 解得a3,a1,a-3,-3a3,实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).易错警示求函数的定义域时,务必依据原函数的解析式去求,切记不可随意化简后再求定义域,否则可能会因为非等价化简导致定义域改变.5.解析要使函数f(x)=(1+x)1-x1+x有意义,必须满足1-x1+x0且1+x0,解得-1x1,即函数的定义域为x|-10时
7、,-x0, f(x)=-f(-x)=-(-x)+2=x-2.当x0时,f(x)=x+2,代入所求不等式,得2(x+2)-10,解得x-32;当x=0时,2f(0)-1=-10时,f(x)=x-2,代入所求不等式,得2(x-2)-10,解得x52,所以0x52.综上,不等式2f(x)-10的解集为xx-32或0x52.故选C.7.答案413,12解析由题意得f(x)在R上单调递减,2a-10,4a-2+3aa2,解得413a12,即a的取值范围是413,12.易错警示对于分段函数的单调性问题,注意在临界位置的函数值大小比较,该题中容易遗漏4a-2+3aa2.8.解析由题图得O(0,0),B(1,
8、3),A(2,0),易得直线OB对应的函数为y=3x,直线AB对应的函数为y=-3x+23,SOAB=3.当0t1时, f(t)=12t3t=32t2;当1t2时,f(t)=332(2-t)2=-32t2+23t3;当t2时, f(t)=3.综上,f(t)=32t2,0t1,-32t2+23t-3,1t0在R上恒成立.当a=0时,10恒成立;当a0时,需满足a0,a2-4a0,解得0a4.综上,0a4.实数a的取值范围为0,4).10.解析(1)f(x)=-x2+2x-3的图象开口向下,对称轴为直线x=1,当a1时,f(x)在区间a,a+1上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;当0
9、a1时,f(x)在区间a,a+1上先增后减,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;当a+11,即a0时,f(x)在区间a,a+1上单调递增,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2.综上所述,g(a)=-a2-2,a0,-2,0a1,-a2+2a-3,a1.(2)g(a)=-3,当g(a)=-a2-2=-3(a0)时,a=-1或a=1(舍去);当g(a)=-a2+2a-3=-3(a1)时,a=2或a=0(舍去);当g(a)=-2(0a0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,可得函数f(x)在(-,0)上单调递增,且f(-2)=0,根据函数在不同定义域内的单调性
10、,作出符合题意的函数图象,利用图象求出满足题意的x的取值范围.故函数f(x)的大致图象如图所示.由函数的图象可得, f(x-2)0时,-2x-22,解得0x4.故选A.2.答案(-,0)和(2,4)解析作出函数图象,观察图象得解.作出函数y=|x2-4x|的图象,如图所示:由图象可知,函数y=|x2-4x|的单调递减区间为(-,0)和(2,4).思想方法数形结合思想在解决数学问题中占有极其重要的地位,运用数形结合思想,不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.本章中与奇偶性、单调性有关的问题常需要借助函数图象辅助求解.3.解析(1)当a=1时,f(x)=x2-2
11、x+3,其图象开口向上,对称轴为直线x=1.x-2,2,f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(-2)=11.(2)f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=a, f(-2)=4a+7, f(2)=-4a+7.对a分a0和a0进行讨论.当a0时,f(x)max=f(2)=-4a+7;当a0时,f(x)max=f(-2)=4a+7.g(a)=-4a+7,a0,4a+7,a0.4.解析(1)当a=32,x0,2时,f(x)=(x-1)x-32=-x2+52x-32,0x32,x2-52x+32,32x2.对绝对值符号内的式子的正负进行讨论.当0x116,所以当a=32时,f(x)在x0,2
12、上的最大值为f(2)=12.(2) f(x)|ax-1|在x0,2上恒成立,即(x-1)|x-a|ax-1|在x0,2上恒成立.当0x1时,x-10,所以(x-1)|x-a|0,又|ax-1|0,所以(x-1)|x-a|ax-1|在x0,1上恒成立.当1x2时,设g(x)=|ax-1|,则f(x)|ax-1|在x(1,2上恒成立等价于f(x)g(x)在x(1,2上恒成立,f(1)=0|ax-1|显然成立,要使f(x)g(x)在x(1,2上恒成立,只需f(2)g(2),即|2-a|2a-1|,解得a-1或a1.此处需要分a1和a-1进行讨论.当a-1,1x2时,f(x)=x2-(a+1)x+a,
13、g(x)=1-ax,则g(x)-f(x)=1-ax-x2-(a+1)x+a=-x2+x+1-a.由函数y=-x2+x+1-a的图象开口向下,对称轴为直线x=12,得-x2+x+1-a-1-a0,所以当a-1时,f(x)g(x)在x(1,2上恒成立.当a1,1x2时,g(x)=ax-1,f(x)=(x-1)|x-a|=x2-(a+1)x+a,ax2,-x2+(a+1)x-a,1xa,作出y=f(x),y=g(x)在R上的大致图象,如图.若1a2,则f(x)在1,1+a2上单调递增,在1+a2,a上单调递减,在a,2上单调递增,且f(1)g(1),f(2)g(2),又1x2,则f(x)在1,1+a
14、2上单调递增,在1+a2,2上单调递减,此时g(x)-f(x)=ax-1-x2+(a+1)x-a=x2-x+a-10在x1,2上恒成立,所以当a1时,f(x)g(x)在x(1,2上恒成立.综上所述,实数a的取值范围是a1或a-1.思想方法本章中函数最值的求解问题,含参数的函数单调性的判断,与绝对值有关的函数问题,求参数的值(取值范围)问题常涉及分类讨论思想,要注意分类标准的确定,做到不重不漏.5.B令x=3,得2f(3)=3f13+13,令x=13,得2f13=13f(3)+3,对于抽象函数问题,常对变量进行赋值,构造方程(组),通过解方程(组)使问题得以解决.联立,消去f13,得f(3)=2
15、99.故选B.6.解析(1)由f(x)=(x+2)(x+a)x2,得f(-x)=(-x+2)(-x+a)(-x)2=(x-2)(x-a)x2,又函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(x-2)(x-a)x2=(x+2)(x+a)x2,解得a=-2.(2)由(1)可得f(x)=x2-4x2=14x2,则函数f(x)在(0,+)上为增函数.因为当x1m,1n(mn0)时,函数f(x)的值域为2-5m,2-5n,结合f(x)的单调性,根据定义域和值域列方程组求解.所以f1m=1-4m2=2-5m,f1n=1-4n2=2-5n,即4m2-5m+1=0,4n2-5n+1=0,所以m,n是方程
16、4x2-5x+1=0的两个不等实根,又mn0,所以m=1,n=14.思想方法方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得以解决.在函数中,常利用函数、方程、不等式三者的联系,通过解方程(组)来解决函数的相关问题.7.B当x0时, f(x)=x+x+1,则f(x)在0,+)上为增函数,且f(1)=1+1+1=3,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)3f(|x|)f(1)|x|1,利用函数的特殊值、奇偶性,将不等式等价转化为在同一单调区间内两函数值的大小,利用单调性解决问题.解得-1x1,即x的取值范围
17、为-1,1,故选B.8.D由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=12f(x),则f(x)=12f(x-2).当x-2,0)时, f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.当x0,2)时,x-2-2,0), f(x)=12f(x-2)=12-2(x-2+1)2+2=-(x-1)2+1,其最大值为1,将x0,2)转化到已知解析式的自变量的取值范围,根据条件求出解析式.同理当x2,4)时, f(x)max=12, f(x)89恒成立.依此类推,可知当x2时, f(x)89恒成立.当x0,2)时,由f(x)=89得-(x-1)2+1=89(x-1)2=19x=23或x=43.结合图象(图略)知,若对任意xm,+),都有f(x)89,则m43.综上所述,m的取值范围是43,+,故选D.思想方法转化与化归思想在函数中常见的运用:利用函数的奇偶性对自变量的范围进行转化,将不等式恒(能)成立等问题转化为最大(小)值问题,构造函数利用函数的性质进行适当的转化等.