1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例基础认知自主学习1.指数函数型模型(1)表达形式：f(x)abxc.(2)条件：a，b，c为常数，a0，b0，b1.2对数函数型模型(1)表达形式：f(x)mlogaxn.(2)条件：m，n，a为常数，m0，a0，a1.导思1.指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中待定系数有哪些限制条件？2解决实际问题的基本过程是什么？1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的()提示：对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好()提示：
2、数据越多，模拟效果越好(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好()提示：根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型的模拟效果较好2(教材习题改编)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是()A.y2x By2x1C.y2xDy2x1【解析】选D.分裂一次后由2个变成2222(个)，分裂两次后4223(个)，分裂x次后y2x1(个).3有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，
3、未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y400(150%)n40032n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨，所以4 00040032n，所以32n10，两边取对数可得n(lg 3lg 2)1，所以n(0.477 10.301 0)1，解得0.176 1n1，解得n6，所以从201562021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨答案：2021能力形成合作探究类型一 指数函
4、数模型(数学运算、数学建模)1某市2020年城乡居民人均收入比2010年翻了一番，设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式中正确的是()A.(1p%)102 B(1p%)102C.10(1p%)2 D110p%22习总书记在党的十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务十九大后，某行业计
5、划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0 x1).(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x.(2)若x10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?参考数据：lg 20.301，lg 30.477.【解析】1.选B.设2011年城乡居民人均收入为a，因为城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则a(1p%)102a，可得(1p%)102.2(1)依题意得(1x)na，所以1xn a，即x1n a.(2)设n年后年产能不超过2017年的25%，则(110%)n25%，即910n14，即n lg 910 lg 14，即n(
6、2lg 31)2lg 2，所以n 2lg 212lg 3，即n30123，因为1330123 14，且nN*，所以n的最小值为14，所以至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.有关增长(衰减)率问题(1)熟练应用公式ya(1x)n，特别是增长(衰减)次数，审清如年初、年底等字眼(2)对于比较复杂的问题，可以通过写出前三、四次的表达式，找出规律后再写第n次的【补偿训练】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是()A.m11Bm12C.12 m 1 D11 m 1【解析】选D.设该厂一月份产量为a，这一年中月平均增长率为x.则a(1x)11m
7、a，解得x11 m 1.类型二 对数函数模型(数学建模、数学运算)【典例】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v12 log3x100 lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 20.30，31.23.74，31.44.66).(1)当x02，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？(2)当x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min
8、，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【思路导引】(1)将x0，x代入解析式求速度(2)利用候鸟休息的速度为0解题(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商【解析】(1)由题意知，x02，x8 100，得v12 log38 100100lg 21.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得012 log3x100 lg 5，即log3x100 2lg 52(1lg 2)，解得：x466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得：两式相减可得112 log3x
9、1x2，解得：x1x2 9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型，设出函数解析式(2)依实际情况确定解析式中的参数(3)依题设数据解决数学问题(4)得出结论12020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只则经过_天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.050.048 8，ln 1.50.405 5，ln 1 6007.377 8，ln 16 0009.680 3).【解析】设过x天能达到最初的16 000倍，由已知N0(10.05)x16 000N0，即1.05x16 000，所以xl
10、n16 000ln1.05198.4，又xN，所以过199天能达到最初的16 000倍答案：1992大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数vklog3Q100 b，其中k，b为常数已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5 m/s时，其耗氧量为2 700个单位(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位？【解析】(1)由题意可得0klog3100100b，1.5klog32 700100 b，解得k12
11、，b0，所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式为v12 log3Q100.(2)由题意，有12 log3Q100 2.5，即log3Q100 5，所以log3Q100 log335，由对数函数的单调性有0 Q100 35，解得0Q24 300，故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要24 300个单位类型三 建立拟合函数模型解决实际问题(直观想象、数学运算、数学建模)【典例】因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(nN)年的材料费、维修费、人工工资等共为 52n25n万
12、元，每年的销售收入55万元设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由【解析】(1)由题意得：f(n)55n9052n25n52 n250n90.由f(n)0，得52 n250n900，即n220n360，解得2n18.由于nN，故该企业从第3年开始盈利；(2)方案一：总盈利额f(n)52(n10)2160，当n10时，f(n)
13、max160.故方案一总利润16010170，此时n10；方案二：每年平均利润f（n）n5052 n36n5052 2 36 20，当且仅当n6时等号成立故方案二总利润62050170，此时n6.比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数(5)利用选取的拟合函数进行预测(6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据某
14、地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数ylg xkx5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 20.3，lg 50.7).(2)若采用函数f(x)15xax8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值【解析】(1)对于函数模型ylg xkx5(k为常数)，x100时，y9，代入解得k 150，所以ylg x x50 5.当x50，500
15、时，ylg x x50 5是增函数，但x50时，ylg 5067.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求(2)对于函数模型f(x)15xax815120ax8，a为正整数，函数在50，500上递增；f(x)minf(50)7，解得a344；要使f(x)0.15x对x50，500恒成立，即a0.15x213.8x对x50，500恒成立，所以a315.综上所述，315a344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.【拓展延伸】函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而求出所需要的结论【
16、拓展训练】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20152018年该企业年产量的散点图(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式【解析】(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0).由已知得ab4，3ab7，解得a1.5，b2.5，所以f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1，f(4)8.5，且|8
17、.448.5|0.060.1.所以一次函数模型f(x)1.5x2.5能基本反映年产量的变化(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)1.552.510万件，又年产量减少30%，即1070%7万件，即2019年的年产量为7万件【补偿训练】某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4，xN*)之间关系的是()Ay100 x By50 x250 x100Cy502xDy100 x【解析】选C.当x4时，A中，y400，B中，y700，C中，y800，D中，y1
18、004，故C选项符合题意学情诊断课堂测评1某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是()【解析】选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故A符合要求2“红豆生南国，春来发几枝”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()Ayt3Bylog2tCy2tDy2t2【解析】选C.从图象可知y(枝)与t(月)符合指数函数模型3(教材习题改编)若镭经过100年后剩留原来
19、质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay0.957 6x100By(0.957 6)100 xCy0.957 6100 xDy10.042 4 x100【解析】选A.由题意可知y(95.76%)x100，即y0.957 6x100 4在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlg H，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的HOH 可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)
20、()A12 B13 C16 D 110【解析】选C.由题意得pHlg H(7.35，7.45)，且HOH1014，所以lg HOH lg H1014Hlg H2142lg H14，因为7.35lg H7.45，所以7.45lg H7.35，所以0.92lg H140.7，即0.9lg HOH 0.7，因为lg 12 lg 20.30，故A错误，lg 13 lg 30.48，故B错误，lg 16 lg 6(lg 2lg 3)0.78，故C正确，lg 110 1，故D错误5据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系yalog3(x2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤_只【解析】当x1时，由3 000alog3(12)，得a3 000，所以到2018年冬即第7年y3 000log3(72)6 000.答案：6 000