1、高考资源网（） 您身边的高考专家21.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.了解平行向量的基本内容2.理解平行向量基本定理及轴上向量的坐标运算3掌握平行向量基本定理及轴上向量的坐标公式并会运用定理、公式解决实际问题,学生用书P41)1向量共线的条件(1)平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab(2)单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知a|a|a0或a02轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴l，取单位向量e，使e的
2、方向与l同方向，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe单位向量e叫做轴l的基向量x叫做a在l上的坐标(或数量)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合xe|xR(2)轴上向量的坐标运算轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e如果设e是轴l上的一个基向量，的坐标又常用AB表示此时AB e，显然BAe，AB与BA绝对值相同，符号相反，即A
3、BBA0.一般地，对于轴上的任意三点A、B、C，有ABBCAC轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，于是得ABAOOBOAOBx2x1所以数轴上两点A、B的距离公式为|AB|x2x1|1若数轴上，A，B两点的坐标分别是3，5，则A，B两点的距离为()A8B2C3 D2解析：选B.|AB|53|2.2数轴上点A，B，C的坐标分别为1，1，5，则下列结论错误的是()A的坐标是2 B3C的坐标是4 D2解析：选C.的坐标为CBxBxC154.3已知向量a2e，be，则a与b_(填“共线”或“不共线”)
4、答案：共线轴上向量的坐标及长度计算学生用书P42已知数轴上四点A、B、C、D的坐标分别是4、2、c、d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|8，求d的值；(3)若3，求证：34.【解】(1)因为AC5，所以c(4)5，所以c1.(2)因为|BD|8，所以|d(2)|8，即d28或d28，所以d6或d10.(3)证明：法一：因为c4，d4，又3，所以c43(d4)，即c3d16.这时33(dc)3d3c3d3(3d16)12d48，44c(4)4c164(3d16)1612d48，所以34.法二：因为，而3，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.解答本题时利用数轴上点的坐标，
5、计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形 已知数轴上A、B两点的坐标为x1、x2，求、的坐标和长度(1)x18，x25；(2)x13.8，x21.7.解：(1)因为x18，x25，所以AB5(8)13，BA8513，所以的坐标为13，|13，的坐标为13，|13.(2)的坐标为5.5，|5.5，的坐标为5.5，|5.5.平行向量基本定理的应用学生用书P42已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解】(1)证明：因为e1
6、e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.平行向量基本定理的应用(1)判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程求解若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之则不存在(2)应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件 1.已知e1，e2是平面内不共线的
7、两个向量，a2e13e2，be16e2，若a，b共线，则等于()A9B4C4 D9解析：选B.由a，b共线知amb，mR，于是2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于e1，e2不共线，所以所以4.故选B.2设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量akb，2ab，3ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A10 B10C2 D2解析：选C.因为A，B，D三点共线，所以()，所以akb(3ab2ab)(a2b)，所以1，k2.用平行向量基本定理证明平面几何问题学生用书P43在如图所示的梯形ABCD中，ABDC，E、F分别是AD、BC的中点求证：EFABDC.【证明】
8、如图，延长EF到M，使EFFM，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平行四边形法则得()由于ABDC，所以、共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数，使.由三角形法则得，且0，所以()()()，所以.由于E、D不共点，所以EFDCAB.应用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量加减法、数乘、待定系数法确定向量等式ba，再结合图形完成证明 如图，在ABC中，已知，.求证：.证明：因为，所以()，所以.1证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题如图A、B、C三点共线，则，任取
9、直线AC外一点P，则()，所以 (1)，由此可推出三点共线的等价命题：A、B、C三点共线等价于(、R且1)2向量平行与直线平行的区别利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题在平行向量基本定理中，勿忘条件b0；即ab且b0，则存在唯一实数，使ab成立若b0，则b00，则b只能表示零向量了1下列命题正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非
10、零向量不平行解析：选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，不是平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假若a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可得a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.2已知数轴上两点A、B的坐标分别是1、4，则AB与|分别是()A3，3B3，3C3，3 D6，6解析：选A.AB4(1)3，|3|3.3已知数轴x上三点A、B、C，且AB3，BC4，则AC_解析：AC
11、ABBC3(4)1.答案：14若e是a的单位向量，b与e方向相反，且|b|3，又|a|4，则a_b.解析：由题意知b3e，又a4e，所以ab.答案：,学生用书P109(单独成册)A基础达标1若i2j，(3x)i(4y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为()A1，2B2，2C3，2 D2，4解析：选B.由题意知，(1，2)，(3x，4y)因为，所以4y2(3x)0，即2xy20.只有B选项，x2，y2代入满足故选B.2已知非零向量e1，e2，ae1e2，b2e22e1，则()Aa与b相等 Ba与b方向相同Ca与b的模相等 Da与b共线解析：
12、选D.b2(e2e1)2(e1e2)2a，所以ab且方向相反3设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与kab共线，则实数k的值为()A2 B2C2 D8解析：选C.因为8akb与kab共线，故存在唯一的实数，使得8akb(kab)所以有解得k2.4已知a5b，2a8b，3(ab)，则()AA、B、D三点共线 BA、B、C三点共线CA、C、D三点共线 DB、C、D三点共线解析：选A.2a8b3(ab)a5b，又a5b，所以，又、有公共点B，所以A、B、D三点共线5O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，0，)，则动点P的轨迹一定过ABC的()A内心 B外心C重心 D垂
13、心解析：选A.如图，因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC.6已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x13，|BA|5，则x2_解析：|BA|x2x1|x23|5.所以x28或2.答案：8或27下面给出三个命题：非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量a与b共线，则存在唯一实数，使ab；若ab，则a与b共线其中真命题的序号为_解析：a与b所在的直线有可能是同一条直线，所以此命题错误；若b0，则b0，所以可取任意实数，所以此命题错误；正确答案：8关于向量a，b有a2
14、e，b2e；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.(其中e1，e2不共线)其中a与b共线的有_(填上所有正确的序号)解析：中ab，所以ab；中a44b，所以ab；中不存在实数，使ab，所以a与b不共线答案：9已知a2c，b2c，求证：ab.证明：当c0时，则a2c0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线当c0时，则a2c0，b2c0，所以ba(这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数1，使得ba成立)所以a与b共线综合可知，a与b共线，即ab.10已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)(R，1，0)(1)求证：A，B，M三点共线(2)若点
15、B在线段AM上，求实数的取值范围解：(1)证明：因为(1)，所以，即，又R，1，0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线(2)由第一问知，若点B在线段AM上，则，同向且|(如图所示)，所以1.B能力提升11设a，b不共线，akb，mab(k，mR)，则A，B，C三点共线时有()Akm Bkm10Ckm10 Dkm0解析：选B.若A，B，C三点共线，则与共线，所以存在唯一实数，使，即akb(mab)，即akbmab，所以所以km1，即km10.12设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_解析：由题可知0，则ka2b(8akb)，即ka2b8akb，由a、b不共线
16、，故k8，2k，则k216，解得k4或k4(舍去)答案：413设两个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A、B、D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？解：假设存在实数k，使得A、B、D三点共线，因为(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又因为A、B、D三点共线，所以，所以2e1ke2(e14e2)，所以，所以k8，所以存在k8，使得A、B、D三点共线14(选做题)已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由解：如图，利用向量求和的平行四边形法则，作出向量，从图中可知A，B，C三点共线，证明如下：因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b.故有2，所以，又因为有公共点A，所以A，B，C三点共线高考资源网版权所有，侵权必究！