1、14.4.2用样本估计总体的离散程度参数14.4.3用频率直方图估计总体分布学 习 任 务核 心 素 养1结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差)(重点)2理解离散程度参数的统计含义(重点、难点)3结合实例，能利用样本数据的频率直方图对总体的分布进行估计(重点、难点)1通过对标准差、方差概念的学习，培养数学抽象素养2通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养数据分析素养3通过学习频率直方图的应用，培养数学抽象素养有A、B两种钢材，从中各抽取一个样本，检测其抗拉强度，通过计算两组数据的平均数都是125，如下表：A120125110125125135125135130120
2、B145145125130115125115125125100请问哪种钢材的质量较好？知识点1极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差极差刻画了一组数据的的离散程度，即这组数据落在最小值与最大值之间一组数据的极差越小，说明这组数据相对集中1已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的极差是_2由题意可知2，a2，极差为312知识点2样本数据的方差和标准差设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为，则称s2(xi)2为这个样本的方差，其算术平方根s为样本的标准差，分别简称为样本方差、样本标准差样本方差(标准差)越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小1数据x1，x2，x
3、n的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，xn，的方差为s，那么s2与s的大小关系如何？提示因为数据x1，x2，xn，比数据x1，x2，xn更加相对集中，所以方差变小了，即ss22已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为()A1 B C D2B样本容量n5，(12345)3，s知识点3样本方差的其它计算公式(1)s2(n2)；(2)若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn则其方差为s2i(xi)2p1(x1)2p2(x2)2pn(xn)22(1)公式(1)你能给出证明么？(2)这两组公式有什么应用特点？提示(1)(x1x2xn)，s2(xi)2(x1)2(x2)
4、2(xn)2(x2x12)(x2x22)(x2xn2)(xxx)2(x1x1xn)n2(xxx)2n2n2(xxx)n2(n2)(2)公式(1)适用于样本数据为绝对值比较小的整数，而平均数为小数的方差计算比较方便公式(2) 适用于样本数据中重复数据比较多的方差计算3设样本数据x1，x2，x10的平均数为10，方差s23，则_190s2，190知识点4分层抽样的方差如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，样本方差为s，j1，2，3，k，记jn，那么所有数据的样本方差为4甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方
5、差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是_分，方差是_因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的8082s 类型1方差和标准差的计算【例1】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？解甲
6、的平均成绩和方差：甲(1.701.651.67)1.69，s(1.701.69)2(1.651.69)2(1.671.69)20.000 6乙的平均成绩和方差：乙(1.601.73 1.75)1.68，s(1.601.68)2(1.731.68)2(1.751.68)20.003 15显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m方可获得冠军时，应派
7、乙参加比赛标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差(2)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性跟进训练1如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则()AAB，sAsBBAsBCAB，sAsB DAB，sAsBBA(2.51057.52.510)6.25，B(151012.51012.510)11.67s(2.56.25)2(106.25)2(56
8、.25)2(7.56.25)2(2.56.25)2(106.25)29.90，s(1511.67)2(1011.67)2(12.511.67)2(1011.67)2(12.511.67)2(1011.67)23.47故AB，sAsB 类型2分层抽样的方差【例2】(对接教材P238例8)甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为14，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解由题意可知甲60，乙70，设甲队人数为a，则乙队人数为4a，总人数为5a，则甲、乙两队全部队员的平均体重为
9、(60a4a70)68 kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2a200(6068)24a300(7068)2296计算分层抽样的方差s2的步骤(1)确定n1，n2，1，2，s，s；(2)确定(n11n22)；(3)应用公式s2计算s2跟进训练2已知某省二、三、四线城市数量之比为136，2021年3月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10， 8，则二线城市的房价的方差为_118.52设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20s2(1.22.4
10、)210(1.21.8)28(1.20.8)2，解答s2118.52，即二线城市的房价的方差为118.52 类型3数据的特征数的综合应用【例3】在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析.解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080，乙(50460470
11、16802901210012)4 00080s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256甲乙，ss乙s丙 Bs甲s丙s乙Cs丙s甲s乙 Ds丙s乙s甲B甲数据绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其标准差最大；乙数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其标准差最小；丙数据的每个小矩形的差别较小，数字分布均匀，标准差比甲数据中的标准差小，比乙数据中的标准差大，故s甲s丙s乙，选B4在某次考试中，要对甲
12、、乙两名同学的学习成绩进行比较，甲同学的平均分甲76，方差s4，乙同学的平均分乙77，方差s10，则_同学的平均成绩好，_同学的各科发展均衡乙甲代表平均水平，因为甲乙，所以乙同学的平均成绩好s2表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小，因为ss，所以甲同学的各科发展均衡5已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy_91由题意得即解得或所以xy91 回顾本节知识，自我完成以下问题：1对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？提示平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度2在实际应用中标准差和方差有何不同吗？提示标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差