1、三十三平面向量基本定理及坐标表示(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2021巴中模拟)若向量(2,3)，(4,7)，则等于()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)B解析：(2,4)2已知平面向量a(k,2)，b(1,1)，kR，则k2是a与b同向的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C解析：若a与b同向，则amb(m0)，即(k,2)m(1,1)，则得m2，k2，即k2是a与b同向的充要条件3线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|2|，则xy()A2B2C2或6D2或6C解析：由已知得(1x，4)，22
2、(3，1y)由|2|，可得2，则当2时，有解得此时xy2；当2时，有解得此时xy6.综上可知，xy2或6.4(2020南昌调研)已知向量a(1，2)，b(x,3y5)，且ab.若x，y均为正数，则xy的最大值是()A2 B C DC解析：因为ab，所以(3y5)12x0，即2x3y5.因为x0，y0，所以52x3y2，所以xy，当且仅当3y2x，即x，y时取等号5(多选题)已知向量a(2,0)，ab(3，1)，则下列结论错误的是()Ab(1,1)BabC|a|b|D|ab|b|ABC解析：因为a(2,0)，ab(3，1)，所以b(1,1)，所以ab2，|a|2，|b|，所以选项A，B，C都不正
3、确而ab(1,1)，则|ab|b|，所以D正确故选ABC.6(2020开封月考)已知向量m(1,1)，n(2,2)若(2mn)(m2n)，则_.0解析：因为2mn(34,4)，m2n(3，3)，且(2mn)(m2n)，所以(3)(34)4(3)0，解得0.7已知在ABC中，点O满足0，点P是OC上异于端点的任意一点，且mn，则mn的取值范围是_(2,0)解析：设(01)，由0，知()，所以.由平面向量基本定理知，mn2，所以mn(2,0)8(2020中原名校联考)如图，在ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，则_.4解析：(方法一)如图，过点M作MDAC
4、交BN于点D，易知PMDPAN.依题设知DMNCAN，即4.(方法二)设a，b，因为A，P，M三点共线，所以存在唯一实数，使得.又知M为BC的中点，所以(ab)因为B，P，N三点共线，所以存在唯一实数，使得，又()(1)ab，所以(ab)(1)ab，所以解得，.所以，.所以|41，即4.9已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)(方法一)因为A，B
5、，C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以解得m.(方法二)2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)因为A，B，C三点共线，所以，所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.10已知点O是ABC内的一点，AOB150，BOC90.设a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用a和b表示c.解：以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系由题意知，OA2，AOC120，所以A(2cos 120，2sin 120)，即A(1，)，易知B(0，1)，C(3,0)设12，即(1，)1(0，1)2(3,0)，所以解得所以
6、abc，即c3a3b.B组新高考培优练11(多选题)已知向量m(1,0)，n，则(ACD)A|m|n| B(mn)nC(mn)n Dm与n的夹角为12已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.3解析：由已知条件得，M为ABC的重心，所以()，即3，则m3.13在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，ABBC2AD2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在半圆弧MN上运动(如图)若，其中，R，则25的最小值为_，最大值为_22解析：由于ABAD，故以A为原点，以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系
7、因为ABBC2AD2，E，F分别为BC，CD的中点，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,1)，E(2,1)，F.因为点P在半圆弧MN上运动，圆的半径为1，所以设P(cos ，sin )(0)，所以(cos ，sin )，(2,1)，.因为，所以(cos ，sin )(2,1)，所以解得所以252cos 2sin 2sin.因为0，所以，所以22sin2.即25的最小值为2，最大值为2.14如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值(1)解：()(1).(2)证明：由(1)，得(1)(1)xy.又因为G是OAB的重心，所以().而，不共线，所以由，得解得所以3(定值)15给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解：(方法一)设AOC，则.过点C作CDOA于点D，CEOB于点E(图略)，则四边形ODCE是平行四边形，所以.又xy，所以xcos ，ysin ，所以xycos sin sin.又因为，则，所以1xy，即xy的最大值是.(方法二)因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以|2|xy|2x2y22xyx2y2，所以x2y21，则2xyx2y21.又(xy)2x2y22xy2，所以xy的最大值为.