1、11任意角的概念与弧度制11.1角的概念的推广 1.了解角的概念的推广及角的分类2.理解象限角与轴线角的定义3掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置1角的有关概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的组成：顶点：用O表示；始边：用OA表示；终边：用OB表示(3)记法：以OA为始边，OB为终边的角记作AOB，以OB为始边，OA为终边的角记作BOA(4)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以化为()这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和2角的分类(1)(2)3终边相同角的表示1判断(正确的打“”，错
2、误的打“”)(1)第一象限角都是锐角()(2)终边与始边重合的角是零角()(3)终边相同的角一定相等()答案：(1)(2)(3)22 018是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C3与30角终边相同的角的集合是()A|30k360，kZB|30k360，kZC|30k180，kZD|30k180，kZ解析：选A.由终边相同的角的定义可知与30角终边相同的角的集合是|30k360，kZ4将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为_答案：25395角的概念的辨析问题学生用书P2在下列说法中：090的角是第一象限角；第二象
3、限角大于第一象限角；钝角都是第二象限角；小于90的角都是锐角其中错误说法的序号为_【解析】090的角是指0，90)，0角不属于任何象限，所以不正确120是第二象限角，390是第一象限角，显然390120，所以不正确钝角的范围是(90，180)，显然是第二象限角，所以正确锐角的范围是(0，90)，小于90的角也可以是零角或负角，所以不正确【答案】与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可 如图，射线OA
4、绕端点O旋转90到射线OB的位置，接着再旋转30到OC的位置，则AOC的度数为_解析：AOCAOBBOC90(30)60.答案：60终边相同的角及象限角、轴线角学生用书P2在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)360，720)的角【解】(1)与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.在本例条件下，求最小的正角解：由0k360
5、10 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤写出在0，360)内相应的角；由终边相同的角的表示方法写出角的集合；根据条件能合并一定合并，使结果简洁(2)终边相同角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍；终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍 (3)象限角的判定方法根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360范围内没有两个角终边是相
6、同的1.215是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B.由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角2若角2与240角的终边相同，则()A120k360，kZ B120k180，kZC240k360，kZ D240k180，kZ解析：选B.角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，则120k180，kZ.选B.3终边在直线yx上的角的集合S_解析：由题意可知，终边在直线yx上的角有两种情况：当终边在第二象限时，可知|135k360，kZ；当终边在第四象限时，可知|315k360，kZ综合可得，终边在直线yx上的角的集合S|135k18
7、0，kZ答案：|135k180，kZ区域角及其表示方法学生用书P3如图所示，(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为|30k360，kZ终边落在OB位置上的角的集合为|60k360，kZ(2)终边落在阴影部分的角的集合为|30k36060k360，kZ区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360到360范围内的角和，写出最简区间x|x；(3)根据旋转的观点把
8、起始、终止边界对应角、加上k360(kZ)如图所示，写出终边在阴影部分的角的集合(虚线表示不含边界，实线表示包含边界)解：终边落在第一象限阴影部分的角的集合为S1|k36045k36090，kZ，终边落在第三象限阴影部分的角的集合为S2|k360225k360270，kZ所以图中，适合题意的角的集合为SS1S2|k36045k36090或(2k1)18045(2k1)18090，kZ|n18045n18090，nZ判断所在象限的问题学生用书P3已知角是第二象限角，试判断是第几象限角？【解】法一：因角在第二象限，所以90k360180k360，kZ.所以45k18090k180，kZ.当k2n时
9、，45n36090n360，nZ，此时，是第一象限角当k2n1时，225n360270n360，nZ，此时，是第三象限角综上：为第一、三象限角法二：几何法如图，先将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有2的区域即为的终边所落在的区域，故为第一、三象限角熟悉以下事实，对我们解答有关问题大有好处：当为第一象限角时，为第一、三象限角的前半区域 当为第二象限角时，为第一、三象限角的后半区域当为第三象限角时，为第二、四象限角的前半区域当为第四象限角时，为第二、四象限角的后半区域已知角是第三象限角，则角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第一或第三象限角D
10、第二或第四象限角解析：选D.法一：取220，则110为第二象限角；再取580，则290为第四象限角法二：因为是第三象限角，所以k360180k360270(kZ)，所以k18090k180135(kZ)当k2n(nZ)时，n36090n360135(nZ)，所以是第二象限角；当k2n1(nZ)时，n360270n360315(nZ)，所以是第四象限角.1理解角的分类的依据，关键看角是逆时针、顺时针旋转，还是无旋转2注意利用数形结合的方法，特别是研究象限角及终边在坐标轴上的角时，结合图形分清角的范围3要善于使用分类讨论的思想，找准分类讨论的依据，如角的集合|k180k18090，kZ，当k取偶数
11、时，角的终边落在第一象限，当k取奇数时，角的终边落在第三象限写角的集合时，不要忽视kZ这一条件，当角增加或减少360，终边又回到原来的位置，终边相同的角会周而复始地出现，所以终边相同的角，它们不一定相等，它们相差360的整数倍1射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，再顺时针旋转270到达OC位置，则AOC()A150B150C390 D390解析：选B.AOC120270150.2与457角终边相同的角的集合是()A|k360457，kZB|k36097，kZC|k360263，kZD|k360263，kZ解析：选C.因为4572360263，所以与457角终边相同的角的集合为|k36
12、0263，kZ3在0360之间与35终边相同的角为_解析：因为35(1)360325，所以0360之间与35终边相同的角是325.答案：3254已知是第四象限角，则为第_象限角解析：如图，带4的标号在第二、四象限，故是第二或第四象限的角答案：二、四,学生用书P77(单独成册)A基础达标1已知集合A|小于90，B|为第一象限角，则AB等于()A|为锐角B|小于90C|为第一象限角D|为锐角或第一象限内的所有负角解析：选D.小于90的角包括所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以AB是锐角或第一象限内的所有负角的集合2与1 303终边相同的角是()A763B493C137 D47解析：选C
13、.因为1 3034360137，所以与1 303终边相同的角是137.3集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB等于()A36，54 B126，144C126，36，54，144 D126，54解析：选C.令k1，0，1，2，则A，B的公共元素有126，36，54，144.4若角，的终边相同，则的终边落在()Ax轴的非负半轴上Bx轴的非正半轴上Cx轴上Dy轴的非负半轴上解析：选A.因为角，的终边相同，故k360，kZ.所以的终边落在x轴的非负半轴上5把1 485转化为k360(0360，kZ)的形式是()A454360 B454360C455360 D3155360解析：选D.B，C
14、选项中不在0360范围内，A选项的结果不是1 485，只有D正确6若时针走过2小时40分，则分针走过的角是_解析：2小时40分小时，360960，故分针走过的角为960.答案：9607已知是第三象限角，则是第_象限角解析：因为是第三象限角，所以k360180k360270，kZ.则k360270k360180，kZ.所以是第二象限角答案：二8有一个小于360的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角为_解析：由题意知，6k360，kZ，所以k60，kZ.又因为是小于360的正角，所以满足条件的角的值为60，120，180，240，300.答案：60，120，180，240，300
15、9已知角的集合M|30k90，kZ，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于360且小于360的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角的一般表达式解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与150角，60角，30角，120角的终边相同的角(2)令36030k90360，kZ，则k，kZ，又因为kZ，所以k4，3，2，1，0，1，2，3，所以集合M中大于360且小于360的角共有8个，分别是330，240，150，60，30，120，210，300.(3)集合M中的第二象限角与120角的终边相同，所以120k360，kZ.10已知角的终边在直线xy0上(1)写出角
16、的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)因为角的终边在直线xy0上，且直线xy0的倾斜角为60，所以角的集合S|60k180，kZ(2)在S|60k180，kZ中，取k2，得300，取k1，得120，取k0，得60，取k1，得240，取k2，得420，取k3，得600.所以S中适合不等式360720的元素分别是300，120，60，240，420，600.B能力提升11已知角2的终边在x轴的上方，那么是()A第一象限角 B第一、二象限角C第一、三象限角 D第一、四象限角解析：选C.由题意知k3602180k360(kZ)，故k18090k180(kZ)，按照k的奇偶性进行
17、讨论当k2n(nZ)时，n36090n360(nZ)，所以在第一象限；当k2n1(nZ)时，180n360270n360(nZ)，所以在第三象限故在第一或第三象限12如图，终边落在OA的位置上的角的集合是_；终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是_解析：终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ；终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ(或|45k360，kZ)，取k0，1，得315，45，所求的集合是45，315答案：|120k360，kZ45，31513已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解：由题意可知，280k360，kZ，因为，都是锐角，所以0180.取k1，得80.因为670k360，kZ.因为，都是锐角，所以9090.取k2，得50.由，得15，65.14(选做题)写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合解：(1)终边为OA的角30k360，kZ，终边为OB的角150k360，kZ，所以终边落在阴影部分的角的集合为|30k360150k360，kZ(2)因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为30k360，kZ，终边为OB的角为210k360，kZ，所以终边落在阴影部分的角的集合为|210k36030k360，kZ