1、12.3复数的几何意义学 习 任 务核 心 素 养1.了解复数的几何意义，并能简单应用(重点)2理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系(易错点)3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点)通过对复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义的学习，培养直观想象素养.我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？知识点1复数的几何意义(1)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴(2)复数的几何意义1.思考辨析(正确的画“”，错误
2、的画“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()答案(1)(2)2.已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Bzz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限知识点2复数的模(1)定义向量的模叫作复数zabi的模(或绝对值)，记作|z|或|abi|.(2)公式|z|abi|.(3)几何意义复数z对应点Z到原点O的距离3.若z12i，则|_.z12i，|z|.知识点3复数加减法的几何意义(1)如图所示，设向量，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且
3、，不共线，以，为两条邻边画OZ1ZZ2.则向量与复数z1z2相对应，向量与复数z1z2相对应(2)|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离4.复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_68i因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4，3)，(2，5)，又(2，5)(4，3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i. 类型1复数的几何意义【例1】(1)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第_象限(2)
4、设复数z(mR)在复平面内对应的点为Z.若点Z在虚轴上，求m的值；若点Z位于第一象限，求m的取值范围(1)二实部为2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(2，1)，位于第二象限(2)解zi.点Z在虚轴上，0，则m2.点Z位于第一象限，则m20且12m0，解得2m.故实数m的取值范围是.复数可由复平面内的点或向量进行表示(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题跟进训练1实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15
5、)i的点Z.(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2x5时，点Z位于第四象限，(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上 类型2复数加减法的几何意义【例2】(1)向量对应的复数为14i，向量对应的复数为36i，则向量对应的复数为_(2)若，对应的复数分别是7i，32i，则|_.(1)210i(2)5(1)(14i)(36i)210i.即向量对应的复数为210i.(2)对应复数为(32i)(7i)43i，
6、|43i|5.1根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则2复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能跟进训练2在复平面内，A，B，C分别对应复数z11i，z25i，z333i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长解由复数加减法几何意义：对应复数z3z1，对应复数z2z1，对应复数z4z1，根据向量的平行四边形法则，得，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，AD的长为|z4z1|(73i)(1i)|62i|2. 类型3复数的模及其几何意
7、义【例3】(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1 B C2 D(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值结合|z|的几何意义，思考分别满足|zi|zi|2及|zi|1的复数z所对应点的轨迹，进而数形结合求得相应结果.(1)A设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2， |Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1，所以|zi1|min1.(2)解如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211.|z1z2|表示复平面内
8、z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.跟进训练3设zC，且|z1|zi|0，则|zi|的最小值为()A0 B1 C DC由|z1|zi|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(1，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线，即直线yx，而|zi|表示直线yx上的点到点(0，1)的距离，其最小值等于点(0，1)到直线yx的距离，即为.1已知i为虚数单位，若z12i，z23ai(aR)，且z1z2在复平面内所对应的点在实轴上，则a的值为()A3 B2 C1 D1D因为z1z25(a1)i，由题意
9、可知a10，a1，故选D.2已知复数z在复平面内对应的点为Z(2，1)，则()Az12i B|z|5Cz是纯虚数 Dz2iD因为复数z在复平面内对应的点为Z(2，1)，则z2i，所以|z|，z不是纯虚数，所以A、B、C不正确，D正确故选D.3设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21C法一：z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C.法二：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，x2(y1)21.
10、故选C.4复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_(3，)复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x3.5已知复数z满足z|z|28i，则复数z_.158i设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.回顾本节知识，自我完成以下问题：1复数zabi(a，bR)，复平面内的点Z(a，b)及平面向量之间存在怎样的关系？提示2复数|z1z2|的几何意义是什么？提示复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离3|z1z2|与|z1|z2|存在怎样的关系？提示|z1z2|z1|z2|.利用复数产生分形图以前我们学过的函数，定义
11、域都是实数集的子集但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念例如，f(z)z2就是一个多项式复变函数，此时f(i)i21，f(1i)(1i)22i.给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn1f(zn)，nN可以得到一列值z0，z1，z2，zn，.如果存在一个正数M，使得|zn|M对任意nN都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集例如，当f(z)z2时，如果z0i，则得到的一列值是i，1，1，1，1，；如果z01i，则算出的一列值是1i，2i，4，2，.显然，对于f(z)z2来说，i为收敛点，1i为发散点事实上，利用|z2|z|2可以证明，f(z)z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|1的所有z组成的集合)让人惊讶的是，当f(z)z2c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到分形图而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图
