1、第2课时 函数奇偶性的应用能力形成合作探究类型一 利用函数的奇偶性求解析式(数学抽象、直观想象)【典例】已知 f(x)为 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x23x1，求函数 f(x)的解析式四步内容理解题意条件：f(x)为 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x23x1，结论：求函数 f(x)的解析式思路探求设 x0 x0 时，f(x)2x23x1f(x)的解析式四步内容书写表达设 x0，因为 x0 时，f(x)2x23x1，所以 f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于 f(x)是 R 上的奇函数，故 f(x)f(x)，所以 f(x)2x23x1.即当 x0 时，f(x)2
2、x23x1.因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)0.综上，f(x)的解析式为f(x)222x3x1x00 x02x3x1x0，题后反思解答此类题目的一般思路是：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)0，但若为偶函数，未必有 f(0)0.利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应设在哪个区间上(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用 f(x)的奇偶性写出f(x)或 f(x)，从而解出 f(x).已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3x 4.求函数 f(x)在 R上的解析式【解析】因为函数
3、 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f()00.设 x0，则x0，由 x0 时，f(x)x3x 4 可知，f(x)x3x 4，又 f(x)为奇函数，故 f(x)f(x)x3x 4(xf(3)f(2)B.f()f(2)f(3)C.f()f(3)f(2)D.f()f(2)32，所以 f()f(3)f(2)，故 f()f(3)f(2).2已知函数 f(x)是定义在区间2，2上的偶函数，当 x0，2时，f(x)是减函数，如果不等式 f(1m)f(m)成立，则实数 m 的取值范围是()A.1，12 B1，2C.(，0)D(，1)【解析】选 A.根据题意，函数 f(x)是定义在区间2，2上的偶函数，
4、当 x0，2时，f(x)是减函数，则 f(1m)f(m)1mm21m22m2 ，解得1m12，则 m 的取值范围为1，12.【补偿训练】已知函数 f(x)在5，5上是偶函数，且在0，5上是单调函数，若 f(4)f(2)，则下列不等式一定成立的是()Af(1)f(3)Bf(2)f(3)C.f(3)f(1)【解析】选 D.由题意可得，函数 f(x)在5，0上也是单调函数，再根据 f(4)f(1).类型三 奇偶性与单调性的综合应用(数学抽象，逻辑推理)【典例】已知奇函数 f(x)xbx2a 的定义域为 R，f(1)12.(1)求实数 a，b 的值(2)证明函数 f(x)在区间(1，1)上为增函数(3
5、)已知 0t1，求不等式 f(t)f(t1)0 的解集【思路导引】(1)利用奇函数的性质和 f(1)求值(2)利用单调性的定义证明(3)利用奇偶性转化不等式，利用单调性解不等式【解析】(1)根据题意，奇函数 f(x)xbx2a 的定义域为 R，则有 f(0)ba 0，则 b0，又由 f(1)12，则有 f(1)11a 12，解得 a1，则 a1，b0.(2)由(1)的结论，a1，b0，则 f(x)xx21，设1x1x21，f(x1)f(x2)x1x21 1 x2x22 1（x1x2）（1x1x2）（x21 1）（x22 1），又由1x1x21，则 x1x20，1x1x20，则 f(x1)f(x
6、2)0，即 f(x1)f(x2)，则函数 f(x)在区间(1，1)上为增函数(3)0t1，则1t10，f(t)f(t1)0f(t)f(t1)f(1t)，又由函数 f(x)为奇函数且在区间(1，1)上为增函数，则有 t1t，解得 t12，又由 0t1，则 t 的取值范围为0，12.奇偶性、单调性的综合应用利用奇偶性可以求值以及式子、性质的转化，利用单调性主要解决不等式的转化，在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧，熟练应用(2020新高考全国卷)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(，0)单调递减，且 f(2)0，则满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是()A.1，13，)B3，10，1
7、C.1，01，)D1，01，3【解析】选 D.因为 f(x)为奇函数，且在(，0)上单调递减，f(2)0，所以 f(x)在(0，)上单调递减，f(2)0，当 x0 时，f(x1)0f(2)，即 0 x12，解得 1x3，当 x0 或 x1 时，显然符合题意，当 x0 时，f(x1)0f(2)，即2x10，解得1x0 时，f(x)x2x，所以在(0，)上是增函数4(教材习题改编)如果奇函数 f(x)在区间1，5上是减函数，且最小值为 3，那么 f(x)在区间5，1上是()A增函数且最小值为 3 B增函数且最大值为 3C减函数且最小值为3 D减函数且最大值为3【解析】选 D.由题意可知 f(x)在区间5，1上是减函数且最大值为3.5已知偶函数 f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_【解析】因为 f(x)是偶函数，所以 f(x1)f(|x1|).又因为 f(2)0，所以 f(x1)0 可化为 f(|x1|)f(2).又因为 f(x)在0，)上单调递减，所以|x1|2，解得2x12，所以1x3.答案：(1，3)