1、第4节直线与圆、圆与圆的位置关系一、教材概念结论性质重现1直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断dr相离(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法 位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两
2、组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含(2)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条内切：1条相交：2条外切：3条外离：4条3常用结论(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程(2)圆的切线方程常用结论过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件( )(2
3、)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( )(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切( ) 2已知直线ymx与圆x2y24x20相切，则m的值为()AB CD1D解析：由x2y24x20得圆的标准方程为(x2)2y22，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r.又直线ymx与圆x2y24x20相切，则圆心到直线的距离d，解得m1.3若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A(，
4、)B，C DD解析：数形结合可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)与直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k.4若直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r.又圆心(1,2)到直线3xy60的距离为d.由2r2d2，得|AB|210，即|AB|.5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_2解析：由得两圆公共弦所在直线方程为xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.
5、考点1直线和圆的位置关系基础性1直线xy20与圆x2(y1)24的位置关系是()A相交B相切 C相离D不确定A解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线xy20的距离为d0)相切，则r()A3B4 C5D6C解析：抛物线C：x24y的准线方程为y1，圆M：(x3)2(y4)2r2(r0)的圆心为(3,4)因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r|41|5.3若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)C解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d.由直线与圆有公共点可得 ，即|a1|2，解得3a1.所以实数a
6、的取值范围是3,14(2020济宁第一中学质量检测)已知过点P(1,2)的直线与圆x2y21相切，且与直线axy10垂直，则实数a的值为()A0B C0或 DC解析：当a0时，直线axy10即直线y1，此时过点P(1,2)且与直线y1垂直的直线为x1，并且x1与圆相切，满足题意，所以a0成立当a0时，过点P(1,2)且与直线axy10垂直的直线斜率为，则直线方程为y2(x1)，即xay2a10.再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得1，解得a.故选C.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点
7、且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题考点2圆与圆的位置关系基础性(1)圆C1：x2y22y0与C2：x2y22x60的位置关系为()A外离B外切 C相交D内切(2)已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y210x12y450.求证：圆C1和圆C2相交；求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长(1)D解析：圆C1：x2y22y0的圆心为C1(0,1)，半径为r11.圆C2：x2y22x60的圆心为C2(，0)，半径为r23，所以|C1C2|2.又r2r12，所以|C1C2|r2r12，所以圆C1与C2内切(2)证明：由题意
8、得，圆C1化为标准方程为(x1)2(y3)211，圆C2化为标准方程为(x5)2(y6)216，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24.两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，所以|r1r2|dr1r2，所以圆C1和圆C2相交解：由知两圆相交，将圆C1和圆C2的方程相减，得4x3y230，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22.(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法重视两圆内切的情况，作图观察(2)两
9、圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1(多选题)已知圆C1：x2y21，圆C2：(x4)2(ya)225相切，则实数a()A2B2C0D以上均有可能BC解析：圆C1：x2y21的圆心为(0,0)，半径为1，圆C2：(x4)2(ya)225的圆心为(4，a)，半径为5.若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有(4)2a2(15)2，解得a2；当两圆内切时，有(4)2a2(15)2，解得a0.综上可得，实数a的值为0或2.2如果圆C：x2y22ax2ay2a24
10、0与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_(2，0)(0,2)解析：圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，所以0|a|0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，所以r22，即2r2(ab3)23.因为所求圆与直线xy0相切，所以(ab)22r2.又因为圆心在直线xy0上，所以ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r.因为圆心在直线xy0上，所以0，即DE0.又因为圆C与直线xy0相切，所以.即(DE)22(D2E2
11、4F)，所以D2E22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d22r2，所以(DE6)2122(D2E24F)联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.1本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，用待定系数法求解2基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式，体现了数学运算、直观想象的核心素养3基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性已知圆C的圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则圆C的方程为_(x1)2(y4)28解析：(方法一)如图，设圆心(x0，4x0)依题意得1，解得x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.(方法二)设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2.根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.