1、三余弦公式知识与方法如下图所示，O、B、C是平面上的三点，平面，且和均为锐角，则以O为顶点的三个角满足.公式记忆：显然是三个角中最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积.典型例题【例1】正四面体中，O为的重心，则_.【解析】解法1：如图，不妨设正四面体的棱长为2，则，所以.解法2：如图，由三余弦公式，显然，所以.【答案】【例2】（2019新课标卷）已知，P为平面外一点，且，点P到的两边、的距离均为，那么点P到平面的距离为_.【解析】解法1：如图1，设平面于点E，于Q，由题意，不难发现平分，所以，又，所以，由三余弦公式，所以，故，从而，故点P到平面的距离为.解法2：构造如图2所示的正方体
2、，由点P到、的距离均为知P在正方体的对角面上，过P作平面于E，则点E在直线上，过P作于Q，连接，则，因为，所以平面，所以，故为等腰直角三角形，由，知，从而，所以，故点P到平面的距离为.【答案】【例3】（2009浙江）如下图所示，在长方形中，E为中点，F为线段上（端点除外）一动点，现将沿折起，使平面上平面，在平面内过点D作，K为垂足，设，则t的取值范围是_.【解析】解法1：在图2中作于O，连接，平面平面且上平面，故，又，所以平面，从而，所以在图1中，应有D、O、K三点共线，且，设，则，所以，易证，所以，从而.解法2：在图2中作于O，连接，平面平面且上平面，故，又，所以平面，从而，所以在图1中，应
3、有D、O、K三点共线，且，分析F在上的运动过程知，当F无限接近E时，K则无限接近中点，此时t无限接近l，当F与C重合时，如图3，易求得，所以，显然，从而，故，所以t的取值范围为.解法3：在图2中作于O，连接，平面平面且平面，由三余弦公式，设，易求得，所以，从而.【答案】强化训练1.（）如下图所示，矩形中，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为_.【解析】解法1：如图2，作于E，由题意，平面，所以，作于O，连接，则平面，所以，从而在图1中，C、O、E三点共线，在图1中，所以，而，所以，那么在图2中也有，从而，故，即直线与平面所成的角为45.解法2：如图2，作于E，由题意，
4、平面，故即为与平面所成的角，由三余弦公式，所以，故，从而，所以直线与平面所成的角为45.【答案】452.（）在中，P是平面外一点，则直线与平面所成的角为_.【解析】解法1：如图l，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，作于E，因为平面，所以，故平面，从而，不妨设，则，所以，从而，故直线与平面所成的角为45.解法2：如图2，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，所以，由三余弦公式，从而，故，即直线与平面所成的角为45.【答案】453.（）如下图所示，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的射影是的中点D，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【解析】解法1：如图，连接，不妨设三棱柱的所有棱
5、长均为2，则，所以，在中，由余弦定理，显然，所以即为异面直线与所成的角，故选D.解法2：如图，不妨设三棱柱的所有棱长均为2，则，所以，而，由三余弦公式，显然，所以即为异面直线与所成的角，故选D.【答案】D4.（）如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60角，则侧棱与底面所成的角为_.【解析】如图，作平面于E，由题意，E应落在的平分线上，即,由三余弦公式，即，所以，从而，故侧棱与底面所成的角为45.【答案】455.（）三棱柱中，则三棱锥的体积为_.【解析】如图，取中点D，连接，因为，所以是的平分线，作上平面于O，因为，所以O应落在上，由三余弦公式，而，所以，故，从而，即三棱柱的高为，其体积，而对于三棱锥，若以B为顶点，为底面，不难发现它与三棱柱同底等高，所以.【答案】6.（2009湖北）如下图所示，在三棱柱中，侧棱的长为1，则该三棱柱的高为（ ）A.B.C.D.【解析】如图，作平面于H，设，则，由三余弦公式，所以，因为，所以，从而，故，两式平方相加得：，所以，从而，故该三棱柱的高为.【答案】A
