1、函数的反周期与仿周期特性典型例题【例1】己知函数满足对任意的实数都有，且当时，则：（1）_；（2）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_.【解析】在中取知，周期为,，画出图象如下，当时，临界状态为图中的，当时，,判别式，由图可知当时,满足题意,当时，临界状态为图中的，它与的图象在点处相切,当时，所以，由图可知当时，满足题意,综上所述，的取值范围为【答案】,【例2】已知定义在上的函数满足，且当时，若关于的方程在上有3个实数解，则实数_.【解析】由题意，的部分图象如图，要使方程在上有3个实数解，可能的情形为图1或图2，对于图1，当时，,直线与曲线相切，联立消去整理得，判别式，解得：或（舍去)
2、，对于图2，时，直线与曲线相切，联立消去整理得:，判别式，解得：或(舍去)综上所述，实数的值为或【答案】或变式 函数是定义在上的函数，且满足，当时，.若存在，使成立，则实数的取值范围为_.【解析】画出图象如下，设与的图象从左至右的第一个交点的横坐标为，由图可知当时符合题意.先求当时，的解析式，可设，由知，即，联立解得：或，显然，故.【答案】强化训练1.（）函数满足对任意的实数，有，且当时，则_.【解析】周期为4，故.【答案】12.（多选）定义在R上的函数满足，且当时，则下列等式成立的是A.B.C.D.【解析】在中将替换成得，而，所以，在此式中将替换成得，所以的周期为6，故，而，所以，在中取可得
3、，故，从而，故选项中A、B、C正确.【答案】ABC3.函数是定义在R上的函数，且满足，当时，若方程在上有5个实根，则实数的取值范围为_.【解析】画出图象如下,由图可知当且仅当时，直线与的图象有5个交点，故.【答案】4.（）定义在R上的函数满足，当时，则方程在上的实根个数是A.3B.4C.5D.6【解析】，画出图象如下，由图可知两图象有4个交点，故选B.【答案】B5.（）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为_.【解析】，如图，从图中的直线处向右平移，无论移多少，均满足直线与的图象有2个交点，将代入可得:，故.【答案】6.（）定义在上的函数满足，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围为_.【解析】如图，设直线与函数的图象从左至右第一个交点的横坐标为，当时，即，由图可知当时，满足题意.【答案】7.（）定义在上的函数满足，当时，若方程有1个实根，则实数k的取值范围为_.【解析】如图，临界状态即为图中的、，设其斜率分别为、，先求，判别式或（舍），即，再求，因为过点，故其斜率，最后求，故当时，判别式或(舍)，由图可知，当或时，与的图象只有一个交点，即方程有1个实根，故.【答案】
