1、江苏省南通市如皋市2021届高三数学下学期5月第三次适应性考试试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1（）A B C1 D2已知随机变量，若，则（ ）A B C D3 1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲没有共产党就没有中国，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成没有共产党就没有新中国，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的_条件A充分 B必要 C充分必要 D既非充分又非必要4已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A
2、B C D5的展开式中的系数为（ ） A B C D6已知正三角形的边长为3，且,则（ ）A B C D7已知椭圆与双曲线有相同的焦点,设椭圆与双曲线的离心率分别为，则（ ） A=1 B C D8已知四棱锥的侧面为正三角形，底面为矩形，且面面，若，则该四棱锥内可以放置最大的球的半径为（ ） ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9已知，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD10已知圆，点在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（ ）A B C D 11已知正方体中，设与对角线垂
3、直的平面截正方体表面所得截面多边形记为，则关于多边形的说法正确的是（ ）A可能为正三角形 B可能为正方形C若为六边形，则面积为定值 D若为六边形，则周长为定值12已知声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数,则下列说法正确的是（ ）A是的一个周期B在上有7个零点C的最大值为D在上是增函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13已知，则的最小值为_14已知锐角中，角的对边分别为，现有下列四个判断：甲：； 乙：; 丙：； 丁：若上述四个论断有且只
4、有一个是正确的，那么正确的是_15已知圆周上等距离的排列着八个点,现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为_16已知函数，则当时，函数有最小值，则_此时=_ 四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知中，,_,求请从；三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答18（本小题满分12分）已知数列的前项和为，若， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和19（本小题满分12分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：
5、交纳质保金300元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费200元;方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123空调台数20303020用以上台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率 求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率； 请问小李选择哪种质保方案更合算？20 （本小题满分12分）如图，在三棱台中，CF面DEF，ABBC， (1)若，证明
6、：面面； (2)求二面角的余弦值21（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若的周长为6，面积为 （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左、右顶点分别为，过直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，证明：为定值22（本小题满分12分）已知函数 （1）证明：两函数图像有且只有一个公共点； （2）证明：2021年新高考第三次适应性考试、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678选项ABADBACB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
7、，部分选对的得3分，有选错的得0分题号9101112选项ABCABCADBCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13. 14乙 15 16； 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解： 当选时，在中，由正弦定理得：，因为，所以，所以 3分 在中，由余弦定理得：，所以，所以 7分所以10分 当选时，在中，由余弦定理得：因为，所以，所以(舍负) 7分所以10分当选时，因为，所以3分在中，由正弦定理得：，因为，所以，因为， 所以 7分所以10分18解：(1)因为，所以得： 2分在中，令，所以，因为，所以，因为，所以 3分所以，所以数列中所有奇数项和
8、偶数项都为公差为2的等差数列 4分当为奇数时，；当为偶数时，综合得： 6分(2) 10分所以 12分19(1)设”求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次”为事件A，购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X， 4分答：购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为5分(2) 当选择方案一，小李可能交纳的维修费为 8分当选择方案二，小李可能交纳的维修费为11分因为，所以小李选择质保方案一更合算. 12分20(1)证明：在三棱台中, ,因为,所以因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以3分因为，所以，因为,所以四边形为平行四边形，因为,所以四边形为正
9、方形，所以 5分因为平面，,所以平面，因为平面，所以平面平面7分(2) 以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，在三棱台中, ，所以，则，所以，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为， 所以，令，则， 所以10分 同理，所以，由图可知：二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为 12分 21解：(1)设椭圆的焦距为，因为的周长为6，面积为,所以，由得：，将此式代入得：，所以， 所以或3分当时，所以不满足题意；当时，所以满足题意.所以椭圆的方程为4分(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为由得：， 所以， 所以所以， 所以 6分当直线的斜率存在时，设直线方程为，设由 得：，所以， 8分所以，所以11分综上所述：为定值12分22解：(1)设， 2分设，因为，所以在为减函数 4分当时，在为增函数；当时，在为减函数所以，所以(当且仅当时取“=”)，所以两函数图像有且只有一个公共点 6分(2)由(1)知：时，所以，因为，所以，所以 10分所以12分10