1、第2课时 函数的最大值、最小值基础认知自主学习函数的最大值、最小值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M(或 m)满足条件(1)对于任意 xI，都有_(2)存在 x0I，使得_(3)对于任意 xI，都有_(4)存在 x0I，使得_结论M 为最大值m 为最小值 f(x)M;f(x0)M f(x)m;f(x0)m 如果函数 f(x)对于定义域内的任意 x 都满足 f(x)M，那么 M 一定是函数 f(x)的最大值吗？提示：不一定如函数 f(x)x21 恒成立，但是 1 不是函数的最大值1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)任何函数都有最大值、最小值()提示：如函数 y1x 既没
2、有最大值，也没有最小值(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的()提示：函数的最大值是唯一的(3)如果一个函数 f(x)是区间a，b上的减函数，那么函数的最大值是 f(b).()提示：最大值为 f(a).2函数 f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af32，f32Bf(0)，f32Cf32，f(0)Df(0)，f(3)【解析】选 B.观察函数图象，f(x)最大值、最小值分别为 f(0),f32.3(教材例题改编)函数 y2x 在区间2，4上的最大值、最小值分别是()A1，12 B12，1 C12，14 D14，12【解析】选 A.因为 y2x 在2，4上是减函数，所以当 x2
3、 时，取最大值 y1；当 x4 时取最小值 y12.能力形成合作探究类型一 利用函数的图象求最值(数学抽象、数学直观)1函数 y|x|在 R 上()A有最大值 0，无最小值B无最大值，有最小值 0C既无最大值，又无最小值D以上都不对【解析】选 A.因为函数 y|x|的图象如图所示，所以函数 y|x|在 R 上有最大值0，无最小值2函数 f(x)在区间2，5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5)D2，f(5)【解析】选 C.观察图象可知图象的最低点坐标是(2，2)，从而其最小值是2；另外从图象看图象的最高点坐标为(5，f(5)，从而其最大值
4、为 f(5).3函数 f(x)1x 在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最大值也无最小值【解析】选 A.函数 f(x)1x 是反比例函数，当 x(0，)时，函数图象下降，所以在1，)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选 A.4用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值，则函数 f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_【解析】在同一坐标系中分别作出函数 y4x1，yx4，yx8 的图象后，取位于下方的部分得函数 f(x)min4x1，x4，x8的图象，如图所示，由图象可知，函数 f(x)在
5、 x2 时取得最大值 6.答案：6图象法求最值的步骤【补偿训练】1.函数 yf(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为()Af(2)，f(2)Bf12，f(1)Cf12，f32Df12，f(0)【解析】选 C.根据函数最值定义，结合函数图象可知，当 x32 时，有最小值 f32；当 x12 时，有最大值 f12.2如图为函数 yf(x)，x4，7的图象，指出它的最大值、最小值【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(1.5，2)，所以当 x3 时，函数 yf(x)取得最大值，即 ymax3；当 x1.5 时，函数 yf(x)取得最小值，即 y
6、min2.3已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x（2，5.(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象(2)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值【解析】(1)由题意，当 x1，2时，f(x)x23，为二次函数的一部分；当 x(2，5时 f(x)x3，为一次函数的一部分所以函数 f(x)的图象如图所示：(2)由图象可知，当 x0 时，f(x)有最大值，最大值为 3；当 x2 时，f(x)有最小值，最小值为1.类型二 利用单调性求函数的最值(数学抽象、数学运算)【典例】已知函数 f(x)2x3x1.(1)判断函数 f(x)在区间0，)上的单调性，并用定义证明其结论(2)求
7、函数 f(x)在区间2，9上的最大值与最小值四步内容理解题意已知函数解析式，判断函数的单调性，并用定义证明；求函数在某区间上的最值思路探求(1)可依据x逐步增大时，y值的变化趋势初步判断函数的单调性，再利用单调函数的定义证明(2)依据(1)得出函数的单调性，确定函数的最值四步内容书写表达(1)f(x)在区间0，)上单调递增证明如下：任取 x1，x20，)，且 x1x2，f(x1)f(x2)2x13x11 2x23x21（2x13）（x21）（x11）（x21）（2x23）（x11）（x11）（x21）5（x1x2）（x11）（x21）.四步内容书写表达因为 x1x20，(x11)(x21)0，
8、所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2).所以函数 f(x)在区间0，)上单调递增(2)由(1)知函数 f(x)在区间2，9上是增函数，故函数 f(x)在区间2，9上的最大值为 f(9)2939132，最小值为 f(2)2232113.四步内容题后反思求函数的最值，可以利用函数的单调性确定何时取得最值1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则 f(x)在区间a，b上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b).(2)若函数 f(x)
9、在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则 f(x)在区间a，c上的最大(小)值是 f(b)，最小(大)值是 f(a)与 f(c)中较小(大)的一个1函数 yf(x)的定义域为4，6，若函数 f(x)在区间4，2上单调递减，在区间(2，6上单调递增，且 f(4)f(6)，则函数 f(x)的最小值是_，最大值是_.【解析】作出符合条件的函数的简图(图略)，可知 f(x)minf(2)，f(x)maxf(6).答案：f(2)f(6)2函数 f(x)1x 在1，b(b1)上的最小值是14，则 b_【解析】因为 f(x)在1，b上是减函数，所以 f(x)在1，b上的最小值为 f(b
10、)1b 14，所以 b4.答案：43已知函数 f(x)32x1.求函数 f(x)在区间1，5上的最值【解析】x1，x21，5，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)32x11 32x21 6x2x12x11 2x21.因为 1x1x20，且(2x11)(2x21)0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)32x1 在区间1，5上单调递减因此，函数 f(x)32x1 在区间1，5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为 f(1)3，最小值为 f(5)13.【补偿训练】已知函数 f(x)x22xax，x1，).(1)当 a12 时，求函数 f(x)的最小值
11、(2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围【解析】(1)当 a12 时，f(x)x 12x 2.设 1x1x2，则 f(x2)f(x1)(x2x1)112x1x2，因为 1x1x2，所以 x2x10，2x1x22，所以 012x1x2 12，112x1x2 0.所以 f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2).所以 f(x)在区间1，)上为增函数所以 f(x)在区间1，)上的最小值为 f(1)72.(2)在区间1，)上 f(x)0 恒成立x22xa0 恒成立设 yx22xa，x1，)，则函数 yx22xa(x1)2a1 在区间1，)上是增函数所以当 x1 时，y
12、取最小值，即 ymin3a，于是当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a 的取值范围为(3，).类型三 一元二次函数的最值问题(数学抽象、数学运算)不含参数的一元二次函数的最值【典例】函数 yx22x2 在区间2，3上的最大值、最小值分别是()A10，5 B10，1C.5，1 D以上都不对【思路导引】可先配方，再结合函数的定义域，即可求解【解析】选 B.因为 yx22x2(x1)21，且 x2，3，所以当 x1 时，ymin1，当 x2 时，ymax(21)2110.故选 B.含参数的一元二次函数的最值【典例】设 a 为实数，函数 f(x)x2|xa|1，xR.(1)当
13、a0 时，求 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值(2)求函数 f(x)的最小值【思路导引】(1)代入 a 值，化简后求最值；(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值【解析】(1)当 a0，x0，2时，函数 f(x)x2x1，因为 f(x)的图象开口向上，对称轴为 x12，所以当 x12 时，f(x)值最小，最小值为34，当 x2 时，f(x)值最大，最大值为 3.(2)当 xa 时，函数 f(x)x2xa1x122a34.(i)若 a12，则 f(x)在(，a上单调递减，在(，a上的最小值为 f(a)a21；(ii)若 a12，则函数 f(x)在(，a上的最小值为 f1234 a；当 xa
14、时，f(x)x2xa1x122a34.(i)若 a12，则 f(x)在a，)上的最小值为 f1234 a；(ii)若 a12，则 f(x)在a，)上单调递增，f(x)的最小值为 f(a)a21.所以当 a12 时，a21a34a1220，f(x)的最小值为34 a.当 a12 时，a2134aa1220，f(x)的最小值为34 a.当12 a12 时，f(x)的最小值为34 a 与34 a 中较小者所以当12 a0 时，f(x)的最小值为34 a；当 0a2 时，g(x)ming()244m154m11；当 m0 时，g(x)ming()015；当 0m2 时，g(x)ming()mm22m2
15、15m215.综上所述，g(x)min24m11,m215,m0m15,0m2.，学情诊断课堂测评1函数 f(x)23x 在区间1，3上的最大值是()A2 B3 C1 D1【解析】选 D.容易判断函数 f(x)在区间1，3上是增函数，所以在区间1，3上的最大值是 f(3)1.2函数 f(x)2x1(x2，2)的最小值、最大值分别为()A3，5 B3，5C1，5 D5，3【解析】选 B.因为 f(x)2x1(x2，2)是单调递减函数，所以当 x2 时，函数的最小值为3.当 x2 时，函数的最大值为 5.3函数 f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()A.f32，f32Bf(0)，f32C
16、f32，f(0)Df(0)，f(3)【解析】选 B.观察函数图象，f(x)最大值、最小值分别为 f(0),f32.4如果二次函数 f(x)x2(a1)x5 在区间12，1上是增函数，则实数 a 的取值范围为_【解析】因为函数 f(x)x2(a1)x5 的对称轴为 xa12且在区间12，1上是增函数，所以a1212，即 a2.答案：(，25求函数 f(x)1x，0 x1，x，1x2的最值【解析】函数 f(x)的图象如图所示由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)1，无最大值【补偿训练】已知函数 f(x)对任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)23.
17、(1)求证：f(x)是 R 上的减函数(2)求 f(x)在3，3上的最小值【解析】(1)设 x1，x2 是任意的两个实数，且 x1x2，则 x2x10，因为 x0 时，f(x)0，所以 f(x2x1)0，又因为 x2(x2x1)x1，所以 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以 f(x2)f(x1).所以 f(x)是 R 上的减函数(2)由(1)可知 f(x)在 R 上是减函数，所以 f(x)在3，3上也是减函数，所以 f(x)在3，3上的最小值为 f(3).而 f(3)f(1)f(2)3f(1)3232.所以函数 f(x)在3，3上的最小值是2.