1、1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性基础认知自主学习1.函数单调性的定义函数的定义域为 I，如果对于定义域内的某个区间 D 上任意两个自变量的值 x1，x2函数增函数减函数图示x1x2条件都有_都有_结论f(x)在 D 上是增函数f(x)在 D 上是减函数f(x1)f(x2)在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般2函数的单调性与单调区间函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则函数在区间 D 上具有(严格的)单调性，区间 D 叫函数的单调区间区间 D 一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，
2、单调性是局部概念，不是整体概念1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数 f(x)2x2，若 f(1)1的图象，并指出函数 f(x)的单调区间【解析】f(x)x3，x1，（x2）23，x1的图象如图所示由图可知，函数 f(x)x3，x1，（x2）23，x1的单调减区间为(，1和(1，2)，单调增区间为2，).图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间【补偿训练】1.函数 f(x)x22x3 的单调减区间是()A(，1)B(1，)C(，2)D(2，)【解析】选 B.易知函数 f(x)x22x3 是图象开口向下的二次函数，
3、其对称轴为x1，所以其单调减区间是(1，).2函数 f(x)|x2|的单调递增区间是_【解析】f(x)|x2|x2，x2，x2，x2，根据 f(x)的图象(画图象略)知，当 x2 时，f(x)x2 单调递增，所以 f(x)的单调递增区间为2，).答案：2，)3画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间【解析】yx22x1，x0，x22x1，x0，即 y（x1）22，x0，（x1）22，x0 或(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数是增函数；若f（x1）f（x2）x1x20 或(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数是减函数证明：函数 f(x)xx21 在区间(1，1)上单调递
4、减【证明】x1，x2(1，1)，且 x1m，解得 m0.5，所以1m0，x0 时的函数解析式，分段求解 b 的范围并注意分界点处【解析】选 A.因为函数 f(x)22b1xb1x0 x2bxx0（），（），在 R 上为增函数，所以2b102b02b10 ，解得 1b2.1由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)利用抽象函数单调性求范围依据：定义在m，n上的单调增(减)函数中函数值与自变量的关系 f()af()bab，man，mbn.方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解2分段函数的单调性首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函
5、数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值1函数 f(x)kx2(3k2)x5 在1，)上单调递增，则 k 的取值范围是()A(0，)B，25C23，D25，【解析】选 D.当 k0 时，f(x)2x5 在 R 上单调递减，不符合题意，当 k0 时，因为函数 f(x)kx2(3k2)x5 在1，)上单调递增，所以k0，23k2k 1，解得 k25，综上所述：k 的取值范围是25，.2若函数 f(x)x2（2k）x（x3），（2k1）xk（x3）在 R 上为增函数，则实数 k 的取值范围为()A12，B0，4 C4，)D1，8【解析】选 C.当 x3 时，f(x)x
6、2(2k)x 在(，3上为增函数，所以2k23，即 k4，当 x3 时，f(x)(2k1)xk 在(3，)上为增函数，所以 2k10，即 k12，又32(2k)3(2k1)3k，所以 k0，综上可知：k4.3若 f(x)在 R 上是减函数，则 f(1)_f(a21)(填“”或“”或“”或“”).【解析】因为 f(x)在 R 上是减函数，所以对任意 x1，x2，若 x1x2 均有 f(x1)f(x2).又因为1a21，所以 f(1)f(a21).答案：【补偿训练】1.函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，则实数 m 的取值范围是()A(，3)B(0，)C(3，)D(，3)
7、(3，)【解析】选 C.因为函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，所以 2mm9，即 m3.2若 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x2)f(3)，则 x 的取值范围是_【解析】函数的定义域为 R.由条件可知，x23，解得 x5.答案：(5，)【拓展延伸】关于函数 f(x)xax(a0)的单调性(1)若 a0，函数 yxax 的图象如图 1 所示：则函数 yxax 的单调增区间是(，a 和 a，)，单调减区间是(a，0)和(0，a).(2)若 a0，其图象如图 2 所示，函数 yxax 在(，0)和(0，)上均是增函数，即 yxax 的单调增区间为(，0)和(0，
8、).【拓展训练】(2020银川高一检测)函数 f(x)x2x(x0)的单调减区间是()A.(2，)B(0，2)C(2，)D(0，2)【解析】选 D.函数 f(x)x2x(x0)，根据对勾函数图象及性质可知，函数 f(x)x2x(x0)在(2，)上单调递增，函数 f(x)在(0，2)上单调递减学情诊断课堂测评1若函数 f(x)(2a1)xb 在 R 上是减函数，则有()Aa12 Ba12Ca12 Da12【解析】选 D.函数 f(x)(2a1)xb 在 R 上是减函数，则 2a10，即 a12.2已知 f(x)是定义在，0上的增函数，且 f(2)3，则满足 f(2x3)3 的 x的取值范围是()
9、A，12 B32，3C，3 D32，12【解析】选 A.由题意，f(2x3)f(2)，因为 f(x)在，0上是增函数，则 2x32，解得 x12.3函数 y(k2)x1 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是()Ak2 Bk2Ck2 Dk2【解析】选 D.要使函数 y(k2)x1 在 R 上是减函数，必须 k20，所以 k2.4函数 f(x)|x2|的单调递增区间是_【解析】由图象可知，f(x)的单调递增区间是2，).答案：2，)5判断并证明函数 f(x)1x 1 在(0，)上的单调性【解析】函数 f(x)1x 1 在(0，)上是增函数证明如下：设 x1，x2 是(0，)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)1x111x21x1x2x1x2，由 x1，x2(0，)，得 x1x20，又由 x1x2，得 x1x20，于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)1x 1 在(0，)上是增函数