1、一、选择题1数列an的通项公式是关于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn()An2Bn(n1)C. D(n1)(n2)解析：选C.x2(n1)x0，0xn1，xN*，x1,2,3，n.Sn.2(2013陕西西安五校联考)已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线3xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 013的值为()A. B.C. D.解析：选C.函数f(x)x2bx的图象的切线的斜率为f(x)2xb，函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l的斜率为k2b.切线l与直线3xy20平行，2b3，即b1.f(x)
2、x2x，S2 0131.3设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A，2) B，2C，1 D，1)解析：选D.由已知可得a1f(1)，a2f(2)f2(1)()2，a3f(3)f(2)f(1)f3(1)()3，anf(n)fn(1)()n，Sn()2()3()n1()n，nN*，Sn0.q1.q2(1)232.二、填空题6如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3分别是以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的弧
3、，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln_(用弧度制表示即可)解析：依题意，螺旋线第一圈的长度为(123)，第二圈的长度为(456)，第三圈的长度为(789)，依次类推，第n圈的长度为(3n2)(3n1)3n，所以螺旋线的总长度：ln(1233n)(3n2n).答案：(3n2n)7已知函数f(x)是周期为4的函数，当0x4时，f(x)|x2|1，若f(x)的图象与射线y(x0)的交点的横坐标由小到大依次组成数列an，则|a2a1|_；|anan1|_.解析：由题意知，当0x4时，f(x)，因为函数f(x)的周期为4，所以画
4、出函数f(x)及射线y(x0)的图象如图所示，易知|a2a1|3.同理由图可知|anan1|3或|anan1|1.答案：33或18(2012高考四川卷)记x为不超过实数x的最大整数例如，22，1.51，0.31.设a为正整数，数列xn满足x1a，xn1(nN*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析：对于，当a5时，x15，x23，x32，因此正确对于，注意到当a3时，x13，x22，x31，x42，x51，x62，x71，此时数
5、列xn除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此此时不存在正整数k，使得当nk时总有xnxk，故不正确对于，因为xnN*，且x1a，x1(1)a120，即x11，若xn是正奇数，则xn11；若xn是正偶数，则xn11.综上所述，xn1成立，因此正确对于，因为xk1xk0，所以xk0，即xk0，xkxk0，xk0，xk.又由知xk1，于是有1xk，因此有xk，故正确综上所述，其中的真命题是.答案：三、解答题9在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntan antan
6、 an1，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设t1，t2，tn2构成等比数列，其中t11，tn2100，则Tnt1t2tn1tn2，Tntn2tn1t2t1.并利用titn3it1tn2102(1in2)，得 T(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2)anlg Tnn2，n1.(2)由题意和(1)中计算结果，知bntan(n2)tan(n3)，n1.由tan 1tan(k1)k，得tan(k1)tan k1.Snbitan(k1)tan k n.10假设某市2 013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是经济适用房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住
7、房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，经济适用房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建经济适用房的累计面积(以2 013年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？解：设经济适用房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列其中a1250，d50.则Sn250n5025n2225n，令25n2225n4750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2 022年底，该市历年所建经济适用房的累计面积将首次不少于4 750万平方米11(2012高考大纲全国卷)函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2 xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解：(1)证明：用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn13.(2)由(1)及题意得xn1.设bnxn3，则1，5()，数列是首项为，公比为5的等比数列因此5n1，即bn，所以数列xn的通项公式为xn3.