1、江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一单项选择题1.已知过抛物线()的焦点且垂直于x轴的弦长度为2，则实数的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出弦长即得解.【详解】由题得抛物线的焦点坐标为，当x=时，所以所以|y|=所以弦长为.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列选择支中，可以作为曲线与x轴有两个交点的充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据曲线与x轴有两个交点得到且，再根据充分不
2、必要条件的定义得解.【详解】当a=0时，曲线与x轴有一个交点；当a0时，因为曲线与x轴有两个交点，所以.所以且.由于选择支是充分不必要条件，所以选择支对应的集合是的真子集，只有选项C满足题意.故选：C【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，考查二次函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，由题得，
3、化简即得解.【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，由题得,所以,所以.故选：B【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出,即得解.【详解】由题得,所以.故选：C.【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.某设备的使用
4、年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)如下表所示.已知y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为，则实数a的值为( )A. 6B. 4C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解.【详解】由题得，所以样本中心点为（4,5），所以5=4a+1,所以a=1.故选：D.【点睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.在直角坐标系xoy中，双曲线C:的右支上有一点P，该点的横坐标为5，、是C的左右焦点，则的周长为( )A. B. 18C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再利用双曲线的几何性质求出的周长.
5、【详解】由题得，因为P点的横坐标为5,所以,所以，所以，所以的周长为.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( )A. 288B. 360C. 480D. 600【答案】A【解析】【分析】根据题意，首先分析末位数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，再选3个数字，排在中间，有种排法，由分步计数原理，计算可得答案【详解】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有种取法，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法
6、，则五位奇数共有，故选：A【点睛】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能为0，属于基础题8.已知a，b是平面外的两条不同直线，它们在平面内的射影分别是直线，(与不重合)，则下列命题正确的个数是( )(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则；(4)若，则ab.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）举出一个反例即可判断错误；（3）举出一个反例，相交即可判断错误；（4）举出反例，a,b不垂直即可判断错误.【详解】(1)若，则，是正确的；(2)若，则是错误，因为有可能平行或者相交； (3)若，则a/b是错误
7、的，因为a,b有可能相交、异面； (4)若，则ab是错误的，因为a,b可能不垂直.故选：B【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二多项选择题9.如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( )A. 这5个家庭均有小汽车的概率为B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为【答案】ACD【解析】【分析】利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解
8、.【详解】由题得小汽车的普及率为，A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.故选：ACD.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若随机变量，其中，下列等式成立有( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此可
9、解决问题【详解】随机变量服从标准正态分布，正态曲线关于对称，根据曲线的对称性可得：A.，所以该命题正确；B，所以错误；C.，所以该命题正确；D.或，所以该命题错误故选：【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是( )A. EF与AD所成角的正切值为B. EF与AD所成角的正切值为C. AB与面ACD所成角的余弦值为D. AB与面ACD所成角的余弦值为【答案】BC【解析】【分析】如图所示，先找出EF与AD所成角再求解，再找出AB与面ACD所成角求解.【详解】（1）设中点
10、为，的中点为，连接、，因为，所以，所以就是直线与所成的角或补角，在三角形中，由于三棱锥是正三棱锥，又因为平面，所以平面，平面，所以，所以，所以，所以A错误B正确.（2）过点作垂直，垂足为.因为，平面，所以平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以就是与平面所成角.由题得，所以.所以C正确D错误.故答案为：BC.【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，是线段CF的四等分点，分别以HF，EG为x，y轴建立直角坐标系，设ER与
11、ER与分别交于，ES与ES与交于，ET与交于点N，则下列关于点，N与两个椭圆:，:的位置关系叙述正确的是( )A. 三点，N在，点在上B. ，不在上，N在上C. 点在上，点，均不在上D. ，在上，均不在上【答案】AC【解析】【分析】求出的坐标，证明在上；求出的坐标，证明点在上.即得解.【详解】由题得E（0，-3），R（1,0），所以直线ER的方程为.由题得G（0,3），所以，所以直线的方程为，联立,的坐标满足椭圆:，所以在上.由题得ES的方程为.由题得,所以所以直线的方程为，联立直线ES和方程得,满足:，所以点在上.所以选项BD错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确.故选：AC【点
12、睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三填空题13.采用随机数表法从编号为01，02，03，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是_.03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73【答案】20【解
13、析】【分析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解.【详解】指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的号码依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第6个号码是20.故答案为：20.【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设底面正方形的边长为，棱柱高为，则棱柱侧面积根据化简得，进而结合基本不等式可得的最值【详解】设底面正方形的边长为，棱柱高为，则棱柱侧面积正四棱柱为半径为的球的内接正四棱柱，即，由基本不等式得：，即，
14、即内接正四棱柱的侧面积的最大值是，故答案为：【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到是解答的关键15.已知双曲线(a0，b0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意设，相应的渐近线方程为，根据题意得，设，代入得，则，则线段的中点为，代入双曲线方程得，即，故答案为.16.已知，则_；_.【答案】 (1). (2). 84【解析】【分析】求出的系数即得解.【详解】设的通项为，令r=0,则令r=1,则，所以；令r=4,则令r=5,则，令r=6,则令r=7,则，令r=8,则令r=9，则，令r
15、=10,则所以.故答案为：(1). ；(2). 84.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四解答题17.为了了解居民消费情况，某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额，根据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元，其中第六组第七组第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次成等差数列，且第六组户数比第七组多500户，(1)求第六组第七组第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图；(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭，定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B类家庭
16、，定义月消费6千元以上的小家庭为C类家庭，现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会，间A，B，C各层抽取的户数分别是多少?【答案】(1)第六七八组的户数分别是:1500户1000户500户，直方图见解析；(2)从A，B，C三类家庭分别抽取的户数分别是18户48户14户.【解析】【分析】（1）设第六七八组的户数分别是x，y，z，再通过已知求出它们即得解，再求出第六七八组的小矩形高度，补充完整频率分布直方图；（2）求出A类家庭的频率之和、B类家庭的频率之和、C类家庭的频率之和，即得解.【详解】(1)设第六七八组的户数分别是x，y，z，它们的频率之和为:，所以这三组的户数之和
17、为:.由于这三组的频率依次成等差数列，所以x，y，z也成等差数列，又，解得:，.所以第六七八组的小矩形高度分别为:，.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10，第六八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A类家庭的频率之和为:；B类家庭的频率之和为:；C类家庭的频率之和为:.故A，B，C类家庭分别抽取的户数分别为:，.答:(1)第六七八组的户数分别是:1500户1000户500户；(2)从A，B，C三类家庭分别抽取的户数分别是18户48户14户.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.在直三棱柱中，M，N分别
18、是上的点，且.(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；（2）利用向量法求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1) 以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，设，因为，所以，故得:.同理求得，所以.因为是平面的一个法向量，且，所以，又平面，所以平面 (2)，设平面的-个法向量为，则即令，则，所以.又平面的一个法向量为，设表示平面与平面所成锐二面角，则.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在
19、考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19.已知椭圆E:()过点，且它的右焦点为.(1)求椭圆E的方程；(2)过A且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E于点BC(不同于点A)，且，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)或【解析】【分析】(1)由条件知，解方程即得解；（2）设直线AB:，利用弦长公式求出|AB|,|AC|，根据|AB|=2|AC|得解.【详解】(1)由条件知.解得:，所以椭圆E的方程为:.(2)设直线AB:，将直线AB的方程代入椭圆方程:得:，即，解得:或.故.同理:因为，所以.化简得:，解得:或，所以直线AB的方程为:或即或.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆
20、的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；如果维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费；-位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务.为此，他拟范收集整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如
21、下表:(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策.【答案】(1)800元，1700元；(2)选订购7次维修较划算【解析】【分析】（1）根据已知条件直接求出购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用，购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用；（2）先求出购买维修次数为6次和7次的总费用期望值，再帮助农机手进行决策.【详解】(1)购买6次维
22、修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为:(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为:(元).(2)购买6次维修时:实际维修次数为6次时的维修总费用为:(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为:(元)；实际维修次数为9次时的维修总费用为:(元).综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:维修次数56789维修总费用800900130017002100P0.30.30.20.10.1(元)；若订购维修次数为7次时，维修总费用的概率分布表为:维修次数56789维修总费用850950105014501850P0.30.30.20.10.1(元).因为，所以选订购7
23、次维修较划算.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且，沿DE将翻折至位置，使二面角为60.(1)求证:平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）先证明和，则平面即得证；（2）先求出和，即得四棱锥的体积.【详解】(1)在中， ，所以，所以，即，；翻折后，又，平面，所以平面，且，又平面，所以；在中，与证明同理可得:，所以；由于及，平面，所以平面.(2)由(1)可知:平面，又平面BDEC，所以平面平面.在平面内过作于H，由于平面平面，平面
24、，所以平面BDEC，又，所以.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.抛物线M:的焦点为F，过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为.(1)求证:直线过定点，并求出这个定点；(2)若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程.【答案】(1)见解析，定点；(2)直线AB:，圆N:【解析】【分析】(1)设直线AB:()，求出:，令即得定点坐标；（2）求出,再分类讨论，先求出CD方程为：，再根据线段CD是圆N的直径，求出直线AB和圆N的方程.【详解】(1)设直线AB:()，代入抛物线方程得:，设，则，所以，从而:，令得:，所以直线过定点.(2)由(1)知:，且，当时，直线:，设线段的中点为，则，所以，所以，从而CD:即，上述方程代入得:(*)，因为CD是的垂直平分线，所以线段CD是圆N的直径，所以，解得:.所以直线AB:.此时CD:，时，方程(*)化简为:，求得，圆N:；当时，同理求得AB:，圆N:.综上，直线AB:，圆N:.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题，考查直线方程和圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.