1、31.4概率的加法公式1. 了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义2.理解互斥事件、对立事件的判断方法3.掌握互斥事件的概率加法公式, 学生用书P59)1并(和)事件定义由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)符号CAB(或CAB)图示2.互斥事件与对立事件(1)互斥事件定义不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)图示A，B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，即A与B两事件同时发生的概率为0.推广：如果事件A1，A2，An中的任何两个都互斥，就称事件A1，A2，An彼此互斥从集合的角度看，几个事件彼此
2、互斥，是指由各个事件所含结果的集合彼此互不相交(2)对立事件定义不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件图示事件A的对立事件记为.事件A与B对立，是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生，即只能发生其一，并且也必然发生其一事件A与事件B互为对立事件和集合A与集合B互补相似从集合角度看，事件A的对立事件是基本事件空间中由事件A所含的结果组成的集合的补集3概率的加法公式(1)互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，事件AB出现的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而AB的频率n(AB)n(A)n(B)，由概率的统计定义可知：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)
3、P(B)在概率加法公式中，“互斥”这个前提条件不能忽视如果没有事件A与事件B互斥这一条件，此加法公式将不能应用推广：一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1A2An”发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)对立事件的概率公式对立事件的概率公式：P()1P(A)推导：由于A与是对立事件，则A与互斥，且A，所以P()P(A)P(A)P()1，即P()1P(A)1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)互斥事件一定对立()(2)对立事件一定互斥()(3)互斥事件不一定对立()(4)事件A与B的和事件的概率一定大于
4、事件A的概率()(5)事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)()解析：对立必互斥，互斥不一定对立所以(2)(3)正确，(1)错；又当ABA时，P(AB)P(A)，所以(4)错；只有A与B为对立事件，才有P(A)1P(B)，所以(5)错答案：(1)(2)(3)(4)(5)2从1，2，9中任取两数，恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()AB C D解析：选C.从1，2，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数至少有一个奇数是(1)和(3)，
5、其对立事件显然是(2)故选C.3口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42 B0.28C0.3 D0.7解析：选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是10.420.280.3.判断事件之间的关系学生用书P60判断下列各对事件是否是互斥事件，如果是，再判断它们是否是对立事件，并说明理由某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛， 其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全
6、是女生【解】(1)是互斥事件，但不是对立事件理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但它们不是对立事件，由于还有可能选出2名女生(2)不是互斥事件理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生(3)不是互斥事件理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生(4)是互斥事件且是对立事件理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名
7、女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，并且它们中必有1个发生辨析互斥事件与对立事件的思路辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手： (1)从公式的角度看互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)1；对立事件是必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作，有P(A)P()P(A)1.(2)从发生的角度看在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生(3)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. 判断下列
8、每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110)中任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，所以二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有
9、一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然也不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，所以二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件互斥事件概率加法公式的应用学生用书P61射击运动员张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率【解】记A射中10环，B射中9环，C射中8环，D射中7
10、环，E射中7环以下，则A，B，C，D，E两两互斥(1)“射中10环或9环”是事件AB，所以P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)“至少射中7环”是事件ABCD，所以P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87，所以至少射中7环的概率为0.87.(3)“射中环数不足8环”为事件DE，所以P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29，所以射中环数不足8环的概率为0.29.对于较复杂事件的概率问题，要先依题设条件，寻找事件之间的关系，然后利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解 向假设
11、的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率解：设A，B，C分别表示“炸中第一、第二、第三个军火库”这三个事件，则P(A)0.025，P(B)P(C)0.1.又设D表示“军火库爆炸”这个事件，则有DABC，其中A，B，C是彼此互斥的事件所以P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.对立事件概率的求法学生用书P62袋中有红、黄、白三种颜色的球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黄球的概率是，求从袋中任取一球，取到白球的概率【解】记事件“取到红
12、球”为A，“取到黄球”为B，“取到白球”为C，“取到红球或黄球”为D.由题知C与D互为对立事件，则P(C)P(D)1.又D为A和B的和事件，且A、B互斥则P(D)P(A)P(B)，且P(A)，P(B)，所以P(C)1P(D)1.故从袋中任取一球，取到白球的概率是.(1)求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解 玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1
13、个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”已知P(A)，P(B)，P(C)，P(D).求：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率解：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即AB的对立事件为CD，故“取出1球为红球或黑球”的概率为P(AB)1P(CD)1(P(C)P(D)1.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即ABC的对立事件为D，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)1P(D)1.1从集合角度理解互斥事件与对立事件从集合角度看，若A，B是互斥事件，则B，A
14、；若A，B是对立事件，则有A，B.例如，假设全集是天气情况，那么事件A“晴天”与事件B“下雨”是互斥事件，但不是对立事件，因为天气情况还包括“阴天”“下雪”等2互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念：互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生(2)利用集合观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.若事件A与B互斥，则集合AB；若事件A与B对立，则集合AB，且AB.3互斥事件概率加法公式的应用将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件的概率问题，分别求出各事件的概率，然后用概率加法公式求出结果4对立事件概率公式的应用(1)明确对立事件的概念，即A，
15、B事件互斥，且A，B中必有一个会发生当其中一个易求、另一个不易求时用P(A)P(B)1间接求解(2)应用此公式时，一定要分清某事件的对立事件到底包含哪些基本事件，不能重复或遗漏该公式常用于“至多”“至少”型概率问题的求解1运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件的和，做到不重不漏2复杂事件的概率，遵循“正难则反”的原则求解1若A，B为互斥事件，则()AP(A)P(B)1BP(A)P(B)1CP(A)P(B)1 DP(A)P(B)1解析：选D.若A，B为对立事件，则P(A)P(B)1；若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)1.2若A、B为
16、互斥事件，P(A)0.3，P(AB)0.6，则P(B)_.解析：由互斥事件的概率加法公式知P(B)P(AB)P(A)0.60.30.3.答案：0.33据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为_解析：投诉不超过1次包括投诉次数为0和1，故所求概率为0.40.50.9.答案：0.9, 学生用书P119(单独成册)A基础达标1打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i0，1，2，3，那么AA1A2A3表示()A全部击中B至少击中1发C至少击中2发 D以上均不正确解析：选B.A1A2A3所表示的含义是A
17、1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.2抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()AA与B BB与CCA与D DB与D解析：选C.A与D互斥，但不对立故选C.3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒恰好是同一色的概率是()A BC D1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事
18、件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即从中取出2粒恰好是同一色的概率为.4从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到次品(一等品、二等品、三等品都属于合格品)”的概率为()A0.7 B0.65C0.3 D0.05解析：选D.设“抽到次品”为事件D，由题意知事件A，B，C，D互为互斥事件，且每次试验必有A，B，C，D中的一个事件发生，则P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1，所以P(D)1(0.650
19、.20.1)0.05.5若事件A和B是互斥事件，且P(A)0.1，则P(B)的取值范围是()A0，0.9 B0.1，0.9C(0，0.9 D0，1解析：选A.由于事件A和B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)0.1P(B)，又0P(AB)1，所以00.1P(B)1，所以0P(B)0.9.故选A.6若A，B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_解析：因为A，B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B), 所以P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.答案：0.37一个盒子中有10个相同的球，分别标有号码1，2，3，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是_解析：
20、取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为，故有.答案：8某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：月收入1 000，1 500)1 500，2 000)2 000，2 500)2 500，3 000)概率0.12ab0.14已知月收入在1 000，3 000)内的概率为0.67，则月收入在1 500，3 000)内的概率为_解析：记这个商店月收入在1 000，1 500)，1 500，2 000)，2 000，2 500)，2 500，3 000)范围内的事件分别为A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)P(B)P(C)P(D)0.67，所以P(BCD)
21、0.67P(A)0.55.答案：0.559某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1A4)P(A1)P(A4)0.30.40.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P1P(A2)10.20.8.(3)由于0.30.20.5，0.10.40.5，故他有可能乘火车
22、或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去10某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.因为A、B、C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)
23、设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.B能力提升11某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为()A0.95 B0.97C0.92 D0.08解析：选C.记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥， 因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.12某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
24、日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为_解析：当天商店不进货，意味着当天商品销售量为0或1，且这两种情况互斥，故P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件).答案：13黄种人群中各种血型的人所占比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B型血，若小明因病需要输血，求
25、：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率；(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为事件A，B，C，D，它们是互斥的由已知，得P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B，O型血都可以输给B型血的人，故“可以输血给小明”为事件BD.根据互斥事件的概率加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.法二：因为任找一人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给
26、小明，两者为对立事件，所以不能输给小明的概率为1P(BD)10.640.36.14(选做题)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，得到红球、黑球、黄球、绿球是彼此互斥的从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A、B、C、D，则有P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.联立以上三式：解得即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为、.