1、2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：只有选项是正确的1复数=（）A12iB1+2iC1+2iD12i2已知全集U=R，集合M=x|1x3和集合N=x|x=2k1，kN的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）Ax|1x3B3，1，1，3，5C1，1，3D1，1，3，53等差数列an的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A18B20C21D224某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D75已知向量=（1，2），=（3，2），如果k+与3垂直，那么实数k的值为（）A19BCD196一个俯视图为正
2、方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD7已知双曲线=1的一个焦点在圆x2+y24x5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）ABy=xCD8下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）Ap：ab，q：a2b2Bp：ax2+by2=c为双曲线，q：ab0Cp：ax2+bx+c0，q：+a0Dp：m2或m6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点二、填空题每题5分，共30分9某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为11在AB
3、C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=12若tan=2，则=13已知函数f（x）=ax（a0且a1），其关于y=x对称的函数为g（x）若f（2）=9，则g（）+f（3）的值是14已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则ADF的度数为三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止已知一个投手的投篮命中概率为，（）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（）求一轮训练中，该选手的实际
4、投篮次数的概率分布和数学期望16函数y=sin（x+）（0，|）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值1（）求函数的解析式y=f（x）（）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（）求函数f（x）的单调递减区间17已知数列an满足a1=9，其前n项和为Sn，对nN*，n2，都有Sn=3（Sn12）（）求数列an的通项；（）求证：数列Sn+是等比数列；（）若bn=2log3an+20，nN*，求数列bn的前n项和Tn的最大值18已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F（1）求证：A1C
5、平面EBD；（2）求点A到平面A1B1C的距离；（3）求平面A1B1C与直线DE所成角的正弦值19已知圆C：x2+y2=4（）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，求直线l的方程；（）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程（） 若点R（1，0），在（）的条件下，求|的最小值20已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=，求实数a的值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）若xf（x）x2+x+1，求a的取值范围2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题
6、：只有选项是正确的1复数=（）A12iB1+2iC1+2iD12i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母都进行复数的乘法运算，得到最简结果【解答】解： =故选B【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是正确进行复数的乘除运算，注意运算法则，本题是一个基础题2已知全集U=R，集合M=x|1x3和集合N=x|x=2k1，kN的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）Ax|1x3B3，1，1，3，5C1，1，3D1，1，3，5【分析】根据Venn图表达集合的交集运算，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】解：由Venn图可知，阴
7、影部分所示的集合为MN，集合M=x|1x3和集合N=x|x=2k1，kN，MN=1，1，3，故选：C【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合交集的运算，属于基础题3等差数列an的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A18B20C21D22【分析】由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31所以a8=20【解答】解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=20故选B【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k
8、则am+an=al+ak4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的
9、方法解答5已知向量=（1，2），=（3，2），如果k+与3垂直，那么实数k的值为（）A19BCD19【分析】先求出两个向量的坐标，根据向量垂直的充要条件及数量积公式列出方程解得【解答】解：，k+与3垂直=010（k3）4（2k+2）=0解得k=19故选项为D【点评】本题考查两向量垂直的充要条件是：数量积为06一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，棱锥底面正方形的边长为V=故选C【点评】本题考查
10、了棱锥的三视图即体积计算，是基础题7已知双曲线=1的一个焦点在圆x2+y24x5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）ABy=xCD【分析】确定双曲线=1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意，双曲线=1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x5=0上，（）245=0=5m=16双曲线方程为=1双曲线的渐近线方程为故选B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）Ap：ab，q：a2b2Bp：ax2+by2=c为双曲线，q：ab0Cp：ax2+bx+c0，q：+a0Dp：m2或
11、m6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点【分析】Aab与a2b2相互推不出，即可判断出正误；Bp：ax2+by2=c为双曲线，则0，可得：ab0，反之不一定成立，即可判断出正误；Cp与q相互推不出，即可判断出正误；Dq：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得0，解出m即可判断出结论【解答】解：Aab与a2b2相互推不出，因此不满足条件；Bp：ax2+by2=c为双曲线，则0，可得：ab0，q：ab0，反之不一定成立，不满足条件；Cp与q相互推不出，因此不满足条件；Dq：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得=m24（m+3）0，解得m6或m2p是q的充要条件故选：D【点评】
12、本题考查了不等式的性质、圆锥曲线的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题每题5分，共30分9某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200=10人，故答案为：10【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目10设变量
13、x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域，得在直线2xy=2与直线xy=1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=【分析】根据余弦定理可得b2
14、=a2+c22accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c22accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB=，得到B为钝角即B（，），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力12若tan=2，则=【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：tan=2，=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题13已知函数f（x）=ax（a0且a1），其关于y=x对称的函数为g（x）若f（2）=9，则g（）+f（3）的值是25【分析】根据
15、题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可【解答】解：函数f（x）=ax（a0且a1），其关于y=x对称的函数为g（x）则函数f（x）=ax反函数为：y=logax，g（x）=logax，又f（2）=9，a2=9，a=3，g（x）=log3x，g（）+f（3）=）=log3+33=25，故答案为：25【点评】本小题主要考查反函数的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题14已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则ADF的度数为45【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定
16、理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解【解答】解：设EAC=，根据弦切角定理，ABE=根据三角形外角定理，AEC=90+根据三角形内角和定理，ACE=902由于CD是ACB的内角平分线，所以FCE=45再根据三角形内角和定理，CFE=180（90+）（45）=45根据对顶角定理，AFD=45由于DAF=90，所以ADF=45故答案为：45【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关
17、系三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止已知一个投手的投篮命中概率为，（）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数的概率分布和数学期望【分析】（）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率（）由题意的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，概率为P（A）=（1
18、）2=由题意的可能取值为1、2、3、4，（5分）P（=1）=，P（=2）=（1）=，P（=3）=（1）2=，P（=4）=（1）3+（1）4=，（11分）的分布列为1234PE（）=1+2+3+4=（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一16函数y=sin（x+）（0，|）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值1（）求函数的解析式y=f（x）（）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（）求函数f（x）的单调递减区间【分析】（）通过当x=时y取最大值1，当x
19、=时，y取最小值1求出函数的周期，利用最值求出，即可求函数的解析式y=f（x）（）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律即可得解（）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间【解答】解：（）当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值1T=，=3（4分）sin（+）=1，+=2k+（kZ），即=2k，又|，可得 =，（6分）函数 f（x）=sin（3x）（7分）（）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x）的图象再由y=sin（x）图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到y=sin（3x）的图象，（9分）（）令2k3x2k，（kZ），求得函数f（x）的单调递减区间为：，（1
20、3分）【点评】本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题17已知数列an满足a1=9，其前n项和为Sn，对nN*，n2，都有Sn=3（Sn12）（）求数列an的通项；（）求证：数列Sn+是等比数列；（）若bn=2log3an+20，nN*，求数列bn的前n项和Tn的最大值【分析】（）由Sn=3（Sn13），Sn+1=3（Sn3），相减可得an+1=3an利用等比数列的通项公式即可得出（）利用等比数列的前n项和公式可得Sn，变形即可得出（）由（）可知bn=2log3an+20=2n+18，利用等差数列的前n项和公式，二次函数的单调性
21、即可得出【解答】解：（）Sn=3（Sn13），Sn+1=3（Sn3），an+1=3an故an是公比为3，首项为9的等比数列，（），故数列是为首项，公比为3的等比数列（）由（）可知bn=2log3an+20=2n+18，bn是公差为2首项为16的等差数列，b80，b9=0，b100，T8或T9最大，最大值为72【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F（1）求证：A1C平面EBD；（2）求点A
22、到平面A1B1C的距离；（3）求平面A1B1C与直线DE所成角的正弦值【分析】（1）以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求出与，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A1CBD，A1CBE，又BDBE=B满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）连接AE1，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥AA1B1C的高，根据等体积法可知，求出高即可；（3）连接DF，根据BE平面A1B1C，可知DF是DE在平面A1B1C上的射影，从而EDF是DE与平面A1B1C所成的角，最后在RtFDE中，求出此角的正弦值即可【解答】解：（1）证明：以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0
23、，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，2）、B1（1，0，2）、C1（1，1，2）、D1（0，1，2），（2分）设E（1，1，z），则：，BEB1C，A1CBD，A1CBE，（4分）又BDBE=BA1C平面EBD（5分）（2）连接AE1，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥AA1B1C的高，设为h，（6分），由得：，（8分）点A到平面A1B1C的距离是（9分）（3）连接DF，A1CBE，B1CBE，A1CB1C=C，BE平面A1B1C，DF是DE在平面A1B1C上的射影，EDF是DE与平面A1B1C所成的角，（11分）设F（1，y，z），那么，y2z=0，z
24、=22y由、得，（12分）在RtFDE中，因此，DE与平面A1B1C所成的角的正弦值是（14分）【点评】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题19已知圆C：x2+y2=4（）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，求直线l的方程；（）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程（） 若点R（1，0），在（）的条件下，求|的最小值【分析】（）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l的方程；（）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用
25、x与y分别表示出x0及y0，将表示出的x0及y0代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线my轴，得到x0，即可得出Q的轨迹方程；（）由Q及R的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出|2，由圆C的方程表示出y2，将y2代入表示出的|2中，得到关于x的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出|2的最小值，开方即可得出|的最小值，以及此时x的值【解答】解：（）显然直线l不垂直于x轴，设其方程为y2=k（x1），即kxyk+2=0（2分）设圆心到此直线的距离为d，则d=2，得k=0或k= （4分）故所求直线方程为y=2或4x+3y10=0（5分）（）设点M的坐标为（x0，y0）
26、，Q点坐标为（x，y），则N点坐标是（x0，0），=+，（x，y）=（2x0，y0），即x0=，y0=y，又x02+y02=4， +y2=4，（8分）由已知，直线my轴，得到x0，Q点的轨迹方程是+y2=4（x0）；（9分）（）设Q坐标为（x，y），R（1，0），=（x1，y），|2=（x1）2+y2，（10分）又+y2=4（x0），|2=（x1）2+y2=（x1）2+4=，（12分）x4，0）（0，4，x=时，|取到最小值（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函
27、数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=，求实数a的值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）若xf（x）x2+x+1，求a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，根据f（1）=，求出a的值即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（）分离参数得到a，令g（x）=，求出其最大值即可【解答】解：（）因为f（x）=，f（1）=，解得：a=（3分）（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调增加；（5分）当a1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调减少；（6分）当1a0时，令f（x）=0，解得x=，当x（0，）时，f（x）0；单调增，x（，+）时，f（x）0，单调减（10分）（）xf（x）x2+x+1，得：a（11分）令g（x）=，则g（x）=，当0x时，g（x）单调递增，当x时，g（x）单调递减，所以，g（x）max=g=，（13分）故a（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题