1、3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程A级必备知识基础练1.双曲线x225-y223=1的两个焦点为F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离为8,则点P到F2的距离为()A.2或12B.2或18C.18D.22.(2022江苏镇江高二期中)若椭圆x225+y2m=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为()A.3B.4C.6D.93.(2022福建连城一中高二月考)以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x22-y2=1B.x23-y2=1C.x24-y2=1D.x2-y22=14.设m是常数,若F(0,5)是双曲线y2m-x29=1的一个焦点
2、,则m=.5.已知点F1,F2分别是双曲线x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则PF1F2的周长是.6.已知点P在双曲线C:x24-y2m+1=1(m-1)上,且点P的横坐标为m-1,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2.若|F1F2|=6,则m的值为,PF1F2的面积为.7.(2022山东泰安宁阳高二期中)已知双曲线x236-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1PF2,则PF1F2的面积为.8.(2022河北邢台高二期中)在m0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+3,C的焦距为6,C上
3、一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.已知双曲线C:x2m-y22m=1,求C的标准方程.B级关键能力提升练9.在方程mx2-my2=n中,若mnb0)和双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|PF2|的值是()A.a-mB.12(a2-m)C.a2-mD.a2-m213.(2022黑龙江哈师大附中高二期中)过原点的直线l与双曲线x2-y2=6交于A,B两点,点P为双曲线上一点,若直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为()A.4B.1C.12D.1414.已知双曲线2x2-y2=k的焦
4、距为6,则k的值为.15.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=10,P为双曲线上一点,|PF1|=2|PF2|,PF1PF2,求此双曲线的标准方程.C级学科素养创新练16.已知F是双曲线y24-x212=1的下焦点,A(4,1)是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.9B.8C.7D.6参考答案3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程1.C由双曲线定义可知|PF2|-8|=2a=10,解得|PF2|=18或-2(舍),故点P到F2的距离为18,故选C.2.D将双曲线方程化为标准方程得x215-y2=1,所以双曲线
5、的焦点坐标为(4,0),由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以由椭圆的方程得m=25-16=9.故选D.3.A由题意得双曲线的焦点在x轴上且c2=3,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为x22-y2=1.故选A.4.16由题意可知c2=25,则m+9=25,解得m=16.5.34|PF1|=2|PF2|=16,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,a=4.又b2=9,c2=25,2c=10.PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.415
6、2由题意可知|F1F2|=2m+5=6,解得m=4,此时双曲线的方程为x24-y25=1,点P的横坐标为xP=3,所以点P的纵坐标为yP=52,所以PF1F2的面积为SPF1F2=12|F1F2|yP|=12652=152.7.16(方法1)由题意得a2=36,b2=16,c2=a2+b2=52.在RtPF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|,即4c2=4a2+2|PF1|PF2|,即452=436+2|PF1|PF2|,得|PF1|PF2|=32,故PF1F2面积为12|PF1|PF2|=16.(方法2)本题中b
7、2=16,F1PF2=90,因此PF1F2的面积为S=b2tan45=16.8.解若选,因为m0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=m,c=3m.因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以m+3m=3+3,解得m=3,故C的标准方程为x23-y26=1.若选,则c=3.若m0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以c=3m=3,解得m=3,则C的标准方程为x23-y26=1;若m0,则a2=m,所以a=m=2,解得m=4,则C的标准方程为x24-y28=1;若m0,则a2=-2m,所以a=-2m=2,解得m=-2,则C的标准方程为y24-x
8、22=1.综上,C的标准方程为x24-y28=1或y24-x22=1.9.D方程mx2-my2=n可化为x2nm-y2nm=1.因为mn0,所以nm0.方程又可化为y2-nm-x2-nm=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.10.D(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,而20,b0),则a2+b2=5.线段PF1的中点的坐标为(0,2),点P的坐标为(5,4),将其代入双曲线的方程,得5a2-16b2=1.由解得a2=1,b2=4,双曲线的标准方程为x2-y24=1.12.D由题意可得|PF1|+|PF
9、2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,两式平方相减得4|PF1|PF2|=4a2-4m2,|PF1|PF2|=a2-m2.故选D.13.C由题意可设A(m,n),B(-m,-n),P(x,y),xm,yn,则m2-n2=6,x2-y2=6,即y2-n2=x2-m2,所以y2-n2x2-m2=1,由直线PA的斜率为kPA=y-nx-m,直线PB的斜率为kPB=y+nx+m,可得kPAkPB=y2-n2x2-m2=1,而kPA=2,所以kPB=12.故选C.14.6易知k0,则由2x2-y2=k,可得x2k2-y2k=1,当k0时,a2=k2,b2=k,由题意知k2+k=9,即k=6;当k0时
10、,a2=-k,b2=-k2,由题意知-k-k2=9,即k=-6.综上,k=6.15.解|F1F2|=10,2c=10,c=5.又|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,|PF2|=2a,|PF1|=4a.在RtPF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,4a2+16a2=100,得a2=5.则b2=c2-a2=20.故所求的双曲线的标准方程为x25-y220=1.16.AF是双曲线y24-x212=1的下焦点,a=2,b=23,c=4,F(0,-4).上焦点为F1(0,4),由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|2a+|AF1|=4+42+(1-4)2=9,当A,P,F1三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值9.故选A.
