1、1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和A级必备知识基础练1.(2022江苏常州中学高二期中)记等差数列an的前n项和为Sn,若a5+a6=31,S7=77,则数列an的公差为()A.2B.3C.4D.62.(2022广东东莞高二期末)在等差数列an中,S3=6,S5=20,则a4=()A.2B.4C.6D.83.(2022江西景德镇一中高二期中)等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=()A.21B.15C.10D.64.在等差数列an中,若S10=4S5,则a1d等于()A.12B.2C.14D.45.(2022贵州瓮安第二中学高一月考)一百零
2、八塔,因塔群的塔数而得名,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,.若该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群共有()A.10层B.11层C.12层D.13层6.(多选题)已知等差数列an,Sn是其前n项和,若S10=a10=10,则()A.a1=-8B.a5=0C.S5=18D.S5=-207.某公司经销一种数码产品,第1年获得的利润为200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,若该公司不调整经营策略,则an(an为第n年获得的利润)与n的关系为,S
3、n(Sn为前n年获得利润的总和)与n的关系为.8.为了参加学校的长跑比赛,某学校高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米,最后三天共跑了10 800米,求这15天小李同学总共跑的路程.B级关键能力提升练9.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6=()A.52B.68C.96D.10810.(2022江苏连云港高二期末)莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最
4、大的一份为()A.1153B.1183C.1213D.124311.(多选题)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=n2-4nD.Sn=12n2-2n12.(多选题)(2022山东滨州高二期末)在等差数列an中,已知a3=10,a11=-6,Sn是其前n项和,则()A.a7=2B.S10=54C.d=-2D.S77S8813.(2022江西重点中学协作体高二联考)汉代将1 000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来,称为一“缗”(mn,音岷),再放在一起成为一堆.为清点一批铜钱的数目,工作者先将其串成缗,并在最底层放置70缗,然
5、后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这堆铜钱共有缗.14.已知等差数列110,116,122,则该数列共有项位于区间450,600内.15.(2022广东广州高二期末)从a4+a5=-4,a2+a6=-6,S7=14这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,说明理由.问题:已知等差数列an的前n项和为Sn,a7=3.若,则是否存在k,使得Sk-1Sk且Sk0,求使得Snan的n的取值范围.参考答案1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.Ba5+a6=31,S7=77,2a1+9d=31,7a1+21d=77,解得d=3
6、,故选B.2.C设等差数列an的公差为d,则3a1+3d=6,5a1+10d=20,解得a1=0,d=2,所以a4=a1+3d=6,故选C.3.C设等差数列an的公差为d,a1+a3=2,a4-a2=2,2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,则S5=0+5421=10.故选C.4.A由题意得10a1+12109d=45a1+1254d,即10a1+45d=20a1+40d,即10a1=5d,则a1d=12.5.C设塔群共有n层,依山势自上而下各层的塔数构成的数列为an,前n项和为Sn.依题意,得a5,a6,an成等差数列,且公差为2,a5=5,所以Sn=1+3+3+5+5(n-4)
7、+(n-4)(n-5)22=108,解得n=12或n=-8(舍).6.ABD设数列an的公差为d,由题意可得10a1+1092d=10,a1+9d=10,解得a1=-8,d=2,所以a5=a1+4d=-8+42=0,S5=5a1+542d=5(-8)+102=-20,故选ABD.7.an=-20n+220Sn=-10n2+210依题意,每年获得的利润依次排成一列构成等差数列an,且首项a1=200,公差d=-20,于是得an=a1+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.Sn=n(a1+an)2=n(200-20n+220)2=-10n2+210.8.解设小李第n天跑an
8、米,则数列an是等差数列,设an的公差为d.小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400,a1+a15=4800.这15天小李同学总共跑的路程为S15=152(a1+a15)=1524800=36000米.9.B由题意,数列an满足Sn=4n2-10n,当n2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-4(n-1)2-10(n-1)=8n-14,所以a2a6=(82-14)(86-14)=68.故选B.10.A设5人分到的面包数量从小到大记为an,an的公差为d,依题意可得S5=5(a1+a5)2=5a3=
9、100,得a3=20.a3+a4+a5=7(a1+a2),60+3d=7(40-3d),解得d=556.a5=a3+2d=20+553=1153.故选A.11.AC设等差数列an的公差为d,由S4=0,a5=5,得4a1+6d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,所以an=2n-5,Sn=n2-4n,故选AC.12.ACD设等差数列an的公差为d,a3=10,a11=-6,a1+2d=10,a1+10d=-6,解得a1=14,d=-2.Sn=14n+n(n-1)2(-2)=15n-n2.a7=14-26=2,S10=1510-102=50,S77-S88=15-7-(15-8)=10,
10、即S77S88.故选ACD.13.2 020由题意知,这堆铜钱的缗数从上到下构成以31为首项、以1为公差的等差数列,且末项为70,设这堆铜钱摆放了n层,故70=31+(n-1)1,解得n=40,所以共有40层,故这堆铜钱共有40(31+70)2=2020缗.14.25设所求等差数列为an,由题意可知数列an的首项为110,公差为116-110=6,则an=110+6(n-1)=6n+104.解不等式4506n+104600,得1733n2483,因此,该数列位于450,600内的项从第58项起直至第82项,共有25项.15.解若存在k,使得Sk-1Sk且SkSk+1,则ak0.设等差数列an的
11、首项为a1,公差为d.若选择条件:由a7=3,a4+a5=-4,得a1+6d=3,2a1+7d=-4,解得a1=-9,d=2.所以an=-9+2(n-1)=2n-11.令an0,得n112,所以当k=5时,满足a50,所以k=5满足题意.若选择条件:由a7=3,a2+a6=-6,得a1+6d=3,2a1+6d=-6,解得a1=-9,d=2.所以an=-9+2(n-1)=2n-11.由an0,得n112.所以当k=5时,满足a50,所以k=5满足题意.若选择条件:由a7=3,S7=14,得a1+6d=3,7a1+21d=14,解得a1=1,d=13.所以an=1+13(n-1)=13n+23.易知an0恒成立,所以不存在满足条件的k.16.解(1)设等差数列an的公差为d.因为S9=-a5,所以(a1+a9)92=-a5,可得a5=0.因为a3=4,所以d=a5-a32=-2.故an=a3+(n-3)d=-2n+10.(2)若Snan,则na1+n(n-1)2da1+(n-1)d.当n=1时,不等式成立;当n2时,有nd2d-a1,变形可得(n-2)d-2a1.又a5=0,即a1+4d=0,则有(n-2)-a14-2a1.因为a10,所以n10.则有2n10.综上可得,n的取值范围是n|1n10,nN+.
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