1、第3节函数的奇偶性与周期性一、教材概念结论性质重现1函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD结论f(x)f(x)f(x)f(x)图像特点关于y轴对称关于原点对称1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为偶函数(2)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为奇函数3函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，那么一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对
2、称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T就叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(xT)f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次3函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量x，(1)
3、若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)4函数图像的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图像关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)的图像关于点(b,0)中心对称二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称( )(2)若函数f(x)为奇函数，
4、则一定有f(0)0.( )(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称( )2下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()AyBylog2|x|Cy1x2Dyx31C解析：函数y3|x|为偶函数，在(，0)上单调递增选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求3已知f(x)满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x，则f 等于()A B CD1B解析：由f(x2)f(x)，知函数f(x)的周期T2，所以f f 2.4已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B CDB解析：因为f(x
5、)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a. 又f(x)f(x)，所以b0，所以ab.5已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x(0,2时，f(x)2x1，则f(9)_.1解析：因为f(x2)，所以f(x4)f(x2)2)f(x)，得T4，f(9)f(1)1.考点1函数奇偶性的判断基础性)1(多选题)设函数f(x)，则下列结论正确的是()A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数ABC解析：因为f(x)，所以f(x)f(x)所以f(x)是奇函数所以|f(x)|是偶函数，f(x)是奇函数因为f(|x|)f
6、(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数故选ABC.2已知函数f(x)则该函数的奇偶性是_奇函数解析：当x0时，x0，所以f(x)x2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x(x2x)f(x)，所以f(x)是奇函数判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：根据奇、偶函数的定义来判断(2)图像法：利用奇、偶函数图像的对称性来判断(3)性质法：利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断考点2函数奇偶性的简单应用基础性)1若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(x2)1，则f(6)()A2 B4 C2 D4C解析：根据题意得f(6
7、)f(6)1log2(62)132.2(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1D解析：当x0.因为当x0时，f(x)ex1，所以 f(x)ex1. 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)ex1.3若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.1解析：令g(x)ln(x)，若f(x)xg(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)ln0，所以a1.经验证，a1满足题意应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式先将待求区间上的自变
8、量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值考点3函数的周期性综合性(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x4)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2，则f(2 023)_.1解析：因为f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T4. 又f(1)1，所以f(2 023)f(14506)f(1)f(1)1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数若对于x0，都有f(
9、x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 019)f(2 021)的值为_0解析：当x0时，f(x2)，所以f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期所以f(2 019)f(2 019)f(3)1，f(2 021)f(1)log221，所以f(2 019)f(2 021)0.1若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x2,4)的解析式是_f(x)x26x8解析：当x2,0时，x0,2由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2xx2. 所以f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，所以f(x4)(x4)22(x4)又f(x
10、)是周期为4的周期函数，所以f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f(x)x26x8.2若将本例(2)中“f(x2)”变为“f(x2)f(x)”，则f(2 019)f(2 021)_.0解析：由f(x2)f(x)可知T4，所以f(2 019)1，f(2 021)1，所以f(2 019)f(2 021)0.函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图像具有周期性，如果发现一个函数的图像具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性1已知函数f
11、(x)的图像关于原点对称，且周期为4，若f(1)2，则f(2 021)()A2 B0 C2 D4C解析：因为函数f(x)的图像关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 021)f(50541)f(1)f(1)2.故选C.2设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1.则f f(1)f f(2)f _.1解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.所以f f(1)f f(2)f f 0f f(0)f f f f(0)f f f(0)212011.考点4函数性
12、质的综合应用应用性考向1函数的奇偶性与单调性综合已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即cab.考向2函数奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)D解析：因为f(x3)f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以
13、f(7)f(79)f(2)又因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(7)f(2)1，所以a1，即a(1，)故选D.考向3函数单调性、奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在1,0上单调递减设af(2.8)，bf(1.6)，cf(0.5)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca DacbD解析：因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)因为0.80.5cb.故选D.解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：由题意可知，f f f 2.2已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_(3,2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x0时，g(x)g(x)ln(1x)易知f(x)在R上是增函数，由f(6x2)f(x)，可得6x2x，即x2x60，所以3x2.