1、真题汇编-导数及其应用（1）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若，则（ ）A. B. C. D. 2. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 3. 当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D. 14. 设a0，若x=a为函数f（x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（）A. abB. abC. aba2D. aba25. 已知，则（）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）6. 已知函数f(x)=(2
2、x+)(0f(s)+f(t).18. (本小题12.0分)已知函数f（x）=x3-x2+ax+1.（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y=f（x）过坐标原点的切线与曲线y=f（x）的公共点的坐标.19. (本小题12.0分)已知函数（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：20. (本小题12.0分)已知函数f(x)=-ax和g(x)=ax-x有相同的最小值.(1)求a;(2)证明：存在y=b直线,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.21. (本小题12.0分)已知函数f(x)=ax-(a+1)x.(1)当a=0
3、时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.22. (本小题12.0分)设为实数，且，函数=-+()(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数f(x)有两个不同的零点，(+1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】AD7.【答案】BC8.【答案】9.【答案】10.【答案】(-,-4)(0,+)11.【答案】（答案不唯一，均满足）12.【答案】解：（1）f（x）=2a2x+a-=，因为a0，所以-0，所以在（0，）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（，+）上，f（x
4、）0，f（x）单调递增综上所述，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上f（x）单调递增（2）由（1）可知，f（x）min=f（）=a2（）2+a-3ln+1=3+3lna，因为y=f（x）的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna0，所以a，所以a的取值范围为（，+）13.【答案】解：(1)由=0，可得=，故=1，=，从而=-4，所以=在(1,) 处切线方程为-1=-4(-1)，即=-4+5；(2)=，由= 0，可得= 0，解得=4，经检验符合题意，所以=，求导=，令=0，则= 4或= -1，令0，则 4或 -1，令0，则-14，(-, -1)-1(-1, 4)4(4, +)+0-0+极大值
5、极小值所以函数的递增区间为(-, -1)和(4, +)，递减区间为(-1,4)，故函数在= -1 处取得极大值，即极大值为=1，函数在= 4 处取得极小值，即极小值为=，又因为当0，当时，0，由此得知，函数的最大值为=1，最小值为=14.【答案】解：（1）f（x）=12-x2的导函数=-2x，令切点为（m，n），可得切线的斜率为-2m=-2，m=1，n=12-1=11，切线的方程为y=-2x+13；（2）曲线y=f（x）在点（t，f（t）处的切线的斜率为k=-2t，切线方程为y-（12-t2）=-2t（x-t），令x=0，可得y=12+t2，令y=0，可得x=t+，S（t）=|t+|（12+t
6、2），由S（-t）=S（t），可知S（t）为偶函数，不妨设t0，则S（t）=（t+）（12+t2），=（3t2+24-）=，由=0，得t=2，当t2时，0，S（t）单调递增；当0t2时，0，S（t）单调递减，则S（t）在t=2处取得极小值，且为最小值32，所以S（t）的最小值为3215.【答案】解：(1)f(x)=-1,f(-1)=2,且f(-1)=0故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入y=g(x)=+a得-2x+a-2=0由=4-4a+8=0得a=3(2)f(x)=-1,曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程为y
7、-(-)=(-1)(x-),即y=(-1)x-2;由g(x)=+a得g(x)=2x,设y=g(x)在点(，g() 处的切线方程为y-(+a)=(x-),即y=x-+a,a=-2=(-+1).令h()=-+1,则h()=-=(-1)(+1)当-或01时,h()0,此时函数y=h()单调递减;当-0,此时函数y=h()单调递增又h(-)=,h(0)=1,h(1)=-4,h=h(1)=-4a=-1,故a-116.【答案】解：（1）当时，记，因为0，所以在R上单调递增，又，得当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递减.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，；当时，即，令，记，令，因为，所以，所以
8、在上单调递增，即所以在上单调递增，即，故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以，所以，综上可知，实数a的取值范围是.17.【答案】解：(1)由题,f(x)=(1+x)+=(1+x)+),故f(0)=(1+0)+)=1,f(0)=(1+0)=0,所以曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程为y=x;(2)由(1)知,g(x)=(1+x)+), x0,+),则g(x)=(1+x)+-),设h(x)=(1+x)+-,x0,+),则h(x)=-+=0故h(x)在0,+)上递增,故h(x)h(0)=10,因此g(x)0对任意x0,+)恒成立,故g(x)在0,+)上单调递增;(3) 设m(s)=
9、f(s+t)-f(s)-f(t)=(1+s+t)-(1+s)-et(1+t),则m(s)=(1+s+t)+)-(1+s)+)=g(s+t)-g(s),由(2),g(x)在0,+)上单调递增,故s0,t0时,m(s)=g(s+t)-g(s)gg(0)g(0)-g(0)=0,因此,m(s)在(0,+)上递增,故m(s)m(0)=f(0+t)-f(0)-=-f(0)=0,因此,对任意的s,t(0,+),有f(s+t)f(s)+f(t).18.【答案】解：（1）f（x）=3x2-2x+a，=4-12a，当0，即时，由于f（x）的图象是开口向上的抛物线，故此时f（x）0，则f（x）在R上单调递增；当0，
10、即时，令f（x）=0，解得，令f（x）0，解得xx1或xx2，令f（x）0，解得x1xx2，f（x）在（-，x1），（x2，+）单调递增，在（x1，x2）单调递减；综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）在单调递增，在单调递减（2）设曲线y=f（x）过坐标原点的切线为l，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，解得x0=1，切线方程为y=（a+1）x，令x3-x2+ax+1=（a+1）x，即x3-x2-x+1=0，解得x=1或x=-1，曲线y=f（x）过坐标原点的切线与曲线y=f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（-1，-a-1）19.【答案】解：（1），所以对于有：当时，；
11、当时，；当时，所以在时单调递增，在时单调递减，在时单调递增;（2）证明：，函数的周期为.由（1），在时单调递增，在时单调递减，在时单调递增，故在上的值域为，又的周期为，故.（3）证明：由（2）知：即有：；,即有：，则，即有：.20.【答案】解：(1)由题知f(x)=-a,g(x)=a-,当a0时，f(x)0，,g(x)0时，f(x)在(-,a)单调递减，在(a,+)单调递增；g(x)在(0,)单调递减，在(,+)单调递增；故，所以a-aa=1-，即a-=0，令p(a)=a-，则p(a)=-=0，则p(a)在(0,+)单调递增，又p(1)=0，所以a=1.(2)由(1)知，f(x)=-x，g(x
12、)=x-x，且f(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增；g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，且f=g=1.bb，显然y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有0个交点，不符合题意；b=1时，此时，故y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；b1时，首先,证明y=b与曲线y=f(x)有2个交点，即证明F(x)=f(x)-b有2个零点，F(x)=f(x)=-1,所以F(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,又因为0，F(0)=1-b0,(令t(b)=-2b，则t(b)=-20，t(b)t(1)=e-20)所
13、以F(x)=f(x)-b在(-,0)上存在且只存在1个零点，设为，在(0,+)上存在且只存在1个零点，设为.其次, 证明y=b与曲线和y=g(x)有2个交点，即证明G(x)=g(x)-b有2个零点，G(x)=g(x)=1-,所以G(x)(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，又因为G()=0，G(0)=1-b0，(令(b)=b-2b，则(b)=1-0，(b)(1)=1-20)所以G(x)=g(x)-b在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为，在(1,+)上存在且只存在1个零点，设为.再次,证明存在b，使得=:因为F()=G()=0，所以b=，若=，则-=-，即-+=0,所以只需证明-2x
14、+x=0在(0,1)上有解即可，即(x)=-2x+x在(0,1)上有零点,因为()=-30，=e-20,所以(x)=-2x+x在(0,1)上存在零点，取一零点为，令=即可,此时取b=-则此时存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，最后证明+=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为F()=F()=F()=0=G()=G()=G()所以F()=G()=F(),又因为F(x)在(-,0)上单调递减，0，01即0即1，1，所以=,又因为-+=0，所以+=+=,即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.21.【答案】解
15、：(1)当a=0时，,定义域为.,当单调递增，当单调递减，故.(2)f(x)=ax-(a+1)x，定义域为.，令若a=0，g(x)=-x+1,由（1）知f(x),此时无零点.若，,当a=1时，g(x)=,故f(x)单调递增，且f(1)=0,符合题意.当a时，g(x)=0有两个不等的实根，若a，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减，此时f(x),此时无零点.若,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减，在(,+)单调递增，又f(1)=a-10,f()=1-a+（a+1）lna0,符合题意，若a1,f(x)在(0,)上单调递增，在(,1)单调递减，在(1,+)单调递增,又f
16、(1)=a-10,f()0,当x时，f(x)0，符合题意.综上，a的取值范围为.22.【答案】解：（1）=-，当时，在 R上单调递增，此时的单调递增区间为（-，+），无递减区间；当时，令=，当时，单调递增，故的递减区间为(,)，递增区间为(, +)；(2) 数形结合令-+=0=-，设，问题转化为对任意的，与总有两个不同的交点，( 0 ,)，=，设与切于(，)，切线方程为-=(-)，-=+=，令=（），=，易知=，=，结合图像得，故；(3)，=-+，=-，令，当时，单调递减，当时，单调递增，=()=-+=(1-)+，=-+-+，在(,) 和(,) 上各有一个零点，要证+-=(+)，由于=-，故，所以(+)(+)=，故只需证：+，+即证：(+)，所以(+)=-=-=(-)，而-，故f(+)，得证
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