1、 三角函数的最值与综合应用高考试题考点一 三角函数的最值1.(2013年天津卷,文6)函数f(x)=sin（2x-）在区间0, 上的最小值为()(A)-1(B)-(C)(D)0解析:由x0,得2x-,所以sin(2x-)-,1.即f(x)在0, 上最小值为-.故选B.答案:B2.(2012年山东卷,文8)函数y=2sin(-)(0x9)的最大值与最小值之和为()(A)2- (B)0 (C)-1(D)-1-解析:当0x9时,-,所以-2sin(-)2,所以最大值与最小值之和为2-.故选A.答案:A3.(2011年天津卷,文7)已知函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,-.若f(x)的最小
2、正周期为6,且当x=时,f(x)取得最大值,则()(A)f(x)在区间-2,0上是增函数(B)f(x)在区间-3,-上是增函数(C)f(x)在区间3,5上是减函数(D)f(x)在区间4,6上是减函数解析:T=6,=,+=2k+(kZ),=2k+ (kZ).-,令k=0得=.f(x)=2sin(+).增区间为2k-+2k+,kZ,2k-2k+,kZ,6k-x6k+,kZ,当k=0时,-x.f(x)在-2,0上是增函数.故选A.答案:A4.(2010年江西卷,文6)函数y=sin2x+sin x-1的值域为()(A)-1,1 (B)-,-1(C)-,1(D)-1,解析:令sin x=t,则t-1,
3、1,可得y=t2+t-1=(t+)2-,故y-,1.故选C.答案:C5.(2013年新课标全国卷,文16)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.解析:f(x)=sin x-2cos x=(sin x-cos x)=sin(x-),其中sin =,cos =,当x-=2k+(kZ),即x=2k+时函数f(x)取到最大值,即=2k+,所以cos =-sin =-.答案:-6.(2012年大纲全国卷,文15)当函数y=sin x-cos x(0x0,0,-)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=
4、 的值域.解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=,即=,解得=2.因为f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2,从而sin(2+)=1,所以2+=+2k,kZ.又由-,得=.故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)=cos2x+1(cos2x).因为cos2x0,1,且cos2x,故g(x)的值域为1,(,.考点二 三角函数的综合应用1.(2011年陕西卷,文6)方程|x|=cos x在(-,+)内()(A)没有根 (B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根(D)有无穷多个根解析:|x|=cos x的根的个数即y=|x|与y=cos x函数图象的交点个数.令y1=|x|
5、,y2=cos x,则它们的图象如图所示.故选C.答案:C2.(2011年安徽卷,文15)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,bR,ab0.若f(x)对一切xR恒成立,则f=0;f0时,递增区间为k-,k+(kZ).又|b|0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值;(2)求f(x)在区间, 上的最大值和最小值.解:(1)f(x)= -sin2x-sin xcos x=-sin 2x=cos 2x-sin 2x=-sin(2x-).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又0,所以=4,因此=1.(2)由(1)知f(x)=-sin(2x-)
6、.当x时,2x-.所以-sin(2x-)1.因此-1f(x).故f(x)在区间,上的最大值和最小值分别为,-1.6.(2013年四川卷,文17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解:(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=- ,即cos A=-.又0Ab,则AB,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1
7、或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为|cos B=.7.(2013年湖南卷,文16)已知函数f(x)=cos xcos(x-).(1)求f的值;(2)求使f(x)成立的x的取值集合.解:(1)f=coscos=-coscos=-2=-.(2)f(x)=cos xcos(x-)=cos x(cos x+sin x)=cos2x+sin xcos x=(1+cos 2x)+sin 2x=cos(2x-)+.f(x)等价于cos(2x-)+,即cos(2x-)0.于是2k+2x-2k+,kZ.解得k+xk+,kZ.故使f(x)成立的x的取值集合为xk+x0),若存在x1,x20, ,使得f
8、(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是.解析:f(x)=sin 2x+2cos2x-=sin 2x+(cos 2x+1)-=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+)0x1,2x1+.1f(x1)2.又-2x2-,cos(2x2-)1,-+3g(x2)-m+3.又存在x1,x20,使得f(x1)=g(x2),1-m+32或1-m+32,m或1m2,m2.答案:,2考点二 三角函数与其他知识的综合1.(2013安徽蚌埠高三第一次质检)函数f(x)=sin(cos x)在区间0,2上的零点个数是()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:f(x)=sin(cos x)=0,则cos x=
9、k(kZ),cos x=k(kZ),cos x=1或cos x=0,又x0,2,则x=0或x=或x=2或x=或x=,即有5个零点.故选C.答案:C2.(2013广东深圳高三第一次调研)函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()(A)8(B)6(C)4(D)2解析:作出y=ln|x-1|与y=-2cos x(-2x4)的图象知,两函数图象有3对交点,且每对交点关于x=1对称,横坐标之和为23=6.故选B.答案:B3.(2013重庆第一中学高三月考)设平面向量a=(cos x,sin x),b=(cos x+2,sin x),xR.(1)若x
10、(0,),证明:a和b不平行;(2)若c=(0,1),求函数f(x)=a(b-2c)的最大值,并求出相应的x值.(1)证明:假设a与b平行,则cos xsin x-sin x(cos x+2)=0,即sin x=0,与x(0,)时,sin x0,矛盾.故a与b不平行.(2)解:f(x)=ab-2ac=cos2x+2cos x+sin2x-2sin x=1-2sin x+2cos x=1-4sin（x-）.所以f(x)max=5,x=2k-(kZ).综合检测1.(2012浙江金华十校期末)M、N是曲线y=sin x与曲线y=cos x的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()(A)(B) (C)
11、(D)2解析:两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sin x1-cos x2|=+=,|MN|=.故选C.答案:C2.(2013安徽望江四中高三月考)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x（0,）时,f(x)=sin x,f=0,则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是()(A)3(B)5(C)7(D)9解析:f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0.又周期为3,f(3)=f(6)=f(0)=0,又f(1)=sin =0,f(4)=f(1)=0,又f(1)=f(-1
12、)=f(2)=f(5)=0,f=f=0,零点为0,1, ,2,3,4,5,6,共9个.故选D.答案:D3.(2011吉林质检)已知函数f(x)=sin x+acos x的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asin x+cos x的最大值是()(A) (B) (C)(D)解析:f(x)=sin x+acos x=sin(x+)（cos =）,x=为函数f(x)图象的一条对称轴,+=k+(kZ),又cos 0,取=-,则cos=,=.g(x)=sin(x+)（cos =）,g(x)max=.故选B.答案:B4.(2012江南十校联考)函数y=的值域为.解析:令t=2sin x+31,5,则sin x=,所以y=92-+,又,1,所以y-,5.答案: -,55.(2013重庆一中高三第四次月考)已知向量a=(sin ,cos ),b=(,1),其中(0, ).(1)若ab,求sin 和cos 的值;(2)若f()=(a+b)2,求f()的值域.解:(1)ab,sin -cos =0,求得tan =.又(0, ),=,sin =,cos =.(2)f()=(sin +)2+(cos +1)2=2sin +2cos +5=4sin(+)+5.又(0, ),+(,),sin(+)1,7f()9,即函数f()的值域为(7,9.