1、4.3.3对数函数的图象与性质基础过关练题组一对数函数的概念及其应用1.给出下列函数:y=log23x2;y=log3(x-1);y=log(x+1)x;y=logx.其中是对数函数的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知函数f(x)=loga(x+2)(a0,且a1),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为()A.-2B.2C.12 D.-123.(多选)(2021河北石家庄正定一中高一上期中)若f(x)满足对定义域内任意的x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1x2),且当0x0,则称f(x)为“好函数”,则下列函数不是“好函数”的是()A. f(x)=2xB. f
2、(x)=12xC. f(x)=log12xD. f(x)=log2x题组二与对数函数有关的定义域问题4.(2021河北张家口一中高一上期中)函数y=log(2x-1)3x-2的定义域是()A.23,1(1,+)B.12,1(1,+)C.23,+D.12,+5.已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.6.(2020山东菏泽高一上期末)设全集U=R,函数f(x)=x-a+lg(a+3-x)的定义域为集合A,集合B=x|142x32.命题p:若,则AB.从a=-5,a=-3,a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中,使命题p为真命题,说明理由,并求A(UB).题
3、组三对数(型)函数的图象7.在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=log2(-x)的图象可能是()8.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()题组四对数函数的性质及其应用9.(2020天津红桥高一上期末)函数f(x)=loga(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过定点()A.(2,2)B.(2,3) C.(1,0)D.(2,1)10.已知a=log23-1,12b=5,c=log32,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.bac C.acbD.abc11.(2020北京平谷高一上期末)已知a,bR,那么“3alog13b”的()A.充分不必要条件
4、B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是.13.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0f(1-2x)-f(x)1.14.设函数f(x)=loga1-ax,其中0a1,求x的取值范围.题组五对数函数的最大(小)值与值域问题15.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f(x)=x+1(xR)的值域不相同的是()A.y=x(xR)B.y=x3(xR) C.y=ln x(x0)D.y=ex(xR)16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=logax(a0,且
5、a1)在1,4上的最大值与最小值的和是2,则a的值为.17.已知函数f(x)=log2x.(1)若f(a)f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在2,14上的最值.题组六反函数18.函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是()A.ab=1B.a+b=1 C.a=b D.a-b=119.函数y=ax(a0,且a1)的反函数的图象过点(a,a),则a的值为()A.2 B.12C.2或12D.320.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f12的值为.能力提升练题组一对数函数的图象1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=
6、xa(x0),g(x)=logax的图象可能是()2.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x|x|的图象是()题组二对数函数单调性的应用3.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a0,a1),若f(0)b0,0c1,则()A.logcacbC.acbcD.logc(a+b)05.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足ba0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是.6.()已知函数f(x)=logax+m,0x0,a1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|f(a),求实数
7、m的取值范围.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题7.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f(x)=2x+2,x1,log2(x-1),x1在(-,a上的最大值为4,则a的取值范围为()A.0,17B.(-,17C.1,17D.1,+)8.()若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为.题组四对数函数的综合运用9.()已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于()A.1B.0C.-1D.-210.(2020山东济南高一上期末,)已知函数f(x)=log32-x2+x,若f(a)+f(a-1)0,则实数a的
8、取值范围是()A.-,12B.-1,12C.(-2,2)D.(-1,2)11.()已知函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.(1)求实数k的值;(2)判断并证明函数f(x)的单调性;(3)若存在,(1,+),使得函数f(x)在区间,上的值域为lnm-m2,lnm-m2,求实数m的取值范围.答案全解全析基础过关练1.A中,因为对数的真数不是只含有自变量x,所以不是对数函数;中,因为对数的底数不是常数,所以不是对数函数;是对数函数.2.B将点(6,3)代入f(x)=loga(x+2)(a0,且a1)中,得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,a=2,f(x)=log2(x+2),f(
9、2)=log2(2+2)=2.3.AB对于A,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2, f(x1x2)=2x1x2,f(x1)+f(x2)f(x1x2),故A中的函数不是“好函数”;对于B,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=12x1+12x2, f(x1x2)=12x1x2, f(x1)+f(x2)f(x1x2),故B中函数不是“好函数”;对于C,对于定义域x|x0内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=log12x1+log12x2=log12(x1x2)=f(x1x2),故C中函数是“好函数”;对于D,对于定义域x|x0内任意的x
10、1,x2, f(x1)+f(x2)=log2x1+log2x2=log2(x1x2)=f(x1x2),故D中函数是“好函数”.故选AB.4.A要使函数y=log(2x-1)3x-2有意义,必须满足2x-10,2x-11,3x-20,x12,x1,x23,因此23x1.函数的定义域为23,1(1,+),故选A.5.解析因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,所以x2+2x+a0恒成立,所以=4-4a1.故实数a的取值范围是(1,+).6.解析要使函数f(x)有意义,只需x-a0,a+3-x0,解得ax0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x
11、0时, f(x)=lg(x-1),是(1,+)上的增函数,故选B.9.A由对数函数的性质可知,当x=2时, f(2)=2,故函数f(x)=loga(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过定点(2,2).故选A.10.B由12b=5,得b=log125=-log25,又a=log23-1=-log23,所以-log25-log230log32,即bac,故选B.11.B由3a3bab,因为a,b的正负不明确,所以“3alog13b”;由log13alog13b0ab3a3b,所以“3alog13b”的必要不充分条件.故选B.12.答案(-,-1)解析由x2-2x-30,得x3,因此函数f(x)的定
12、义域为(-,-1)(3,+),记为D.设u=x2-2x-3,则y=log12u,易知y=log12u是定义域内的减函数,又u=(x-1)2-4在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,f(x)的单调递增区间为(-,1D=(-,-1).13.解析不等式0f(1-2x)-f(x)1,即0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2xx+10,x+10得-1x1.由0lg2-2xx+11,得12-2xx+10,所以x+12-2x10x+10,解得-23x13.由-1x1,-23x13得-23x13,故不等式的解集为-23,13.14.解析(1)证明:任取x1,x2(a,+),不妨令0ax1x2,g
13、(x)=1-ax,则g(x1)-g(x2)=1-ax1-1-ax2=a(x1-x2)x1x20,g(x1)g(x2).又0af(x2),f(x)是(a,+)上的减函数.(2)loga1-ax1,且0a1,01-axa,1-aax1.0a0,从而ax1时, f(x)=logax在(0,+)上为增函数,所以f(x)=logax在1,4上的最大值为loga4,最小值为loga1;当0af(2),a2,即a的取值范围是(2,+).(2)2x14,32x-127,log23log2(2x-1)log227.函数f(x)=log2(2x-1)在2,14上的最小值为log23,最大值为log227.18.A
14、由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.19.B解法一:函数y=ax(a0,且a1)的反函数为y=logax(a0,且a1),故y=logax的图象过点(a,a),则a=logaa=12.解法二:函数y=ax(a0,且a1)的反函数的图象过点(a,a),函数y=ax(a0,且a1)的图象过点(a,a),aa=a=a12,即a=12.20.答案-log32解析易得y=f(x)=log3x,f12=log312=-log32.能力提升练1.D选项A中两条曲线都不是函数y=xa(x0)的图象;选项B中,y=xa(x0)中a1,y=logax(x0)中0a1,不符
15、合;选项C中,y=xa(x0)中0a0)中a1,不符合;选项D中,y=xa(x0)中0a0)中0a0时,y=xln|x|x|=ln x,排除C,D;当x0时,y=xln|x|x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.3.D由f(0)0得loga30,因此0a0得x2+2x-30,解得-3x1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,当x(-3,-1时,u=-x2-2x+3单调递增,当x-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0a1,即y=logau单调递减,f(x)的单调递减区间为(-3,-1,故选D.
16、4.AC选项A中,因为0cb0得logcalogcb,故A正确;选项B中,因为0cb0,得cab0,0c1,所以acbc,故C正确;选项D中,取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-10,故D错误.故选AC.5.答案(3,+)解析f(x)的图象如图所示,因为f(a)=f(b),所以结合图象可得0a1b,于是lg a=-lg b,则b=1a,所以a+2b=a+2a,设g(a)=a+2a(0ag(1)=3,即a+2a3,所以a+2b的取值范围是(3,+).6.解析由函数f(x)在定义域内单调递减,可知0a1,loga1+m1,即0a1,m1.由m1得2m2,故f(2m)=-2
17、m+2,由0af(a)|-2m+2|m+1,又m1,2m-2m+1,解得m3,故m的取值范围是(3,+).7.C易知f1(x)=2x+2在(-,1上单调递增, f2(x)=log2(x-1)在(1,+)上单调递增.作出f(x)的大致图象,如图所示.由图可知, f(1)=4, f(17)=4,所以a的取值范围为1,17.8.答案0,141,+)解析设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=log2u的定义域为B,则B=(0,+).当k=0时,u=-x+14,A=R,则AB=(0,+),函数f(x)的值域为R,符合题意;当k0时,依题意得k0,BA,因此(2k-1)2-4k140,解得k1
18、4或k1,此时k的取值范围是0,141,+).综上所述,实数k的取值范围为0,141,+).9.B设g(x)=ln(x+x2+1),易知其定义域为R,且g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),所以g(x)为奇函数.因为f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.10.B由题可知f(x)=log32-x2+x的定义域满足2-x2+x0(x-2)(2+x)0,解得-2x0,即f(a)-f(a-1)=f(1-a),所以-2a2,-2a-12,a1-a,所以a-1,1
19、2.故选B.11.解析(1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0, 即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=1,显然k-1,所以k=1.经验证,k=1符合题意.(2)f(x)在(-,-1),(1,+)上均为增函数.证明:由(1)知f(x)=lnx-1x+1,其定义域为(-,-1)(1,+),任取x1,x2(1,+),不妨设x1x2,则f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1=ln(x1-1)(x2+1
20、)(x1+1)(x2-1), 因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)0,(x1-1)(x2+1)0,所以0(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)1,所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)0,即f(x1)0,且ln-1+1=lnm-m2,ln-1+1=lnm-m2,所以-1+1=m-m2,-1+1=m-m2,即,是方程x-1x+1=mx-m2的两个不等实根,问题等价于方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+)上有两个不等实根,令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,x(1,+),易知h(x)为二次函数,其图象的对称轴为直线x=12m-14,则m0,12m-141,=-1-m22-4m1-m20,(1)=m0,即m0,0m2或m29,解得0m29.