1、广东省珠海市2020届高三数学三模试题 文第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合，则( )ABCD2已知复数在复平面上对应的点为，则( )A是实数 B是纯虚数C是实数 D是纯虚数3不等式的解集为( )ABCD或第4题图4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为( )A3.15B2.72C1.47D3.845函数的零点个数为( )A1B2C3D46设，则( )ABCD7已知点和圆，过作的切线有两条，则的取值范围是( )A BC
2、D第8题图8如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是( )A的面积始终不变B始终是等腰三角形C在面内的投影的面积先变小再变大D点到面的距离一直变大9函数的图象可能是( )ABCD10已知是双曲线的一个焦点，点在上，过点作的垂线与轴交于点，若为等腰直角三角形，则的面积为( )ABCD11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“
3、甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此类推1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )A己丑年B己酉年C丙寅年D甲寅年12设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )ABCD第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数在处的切线方程为_14在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该
4、三棱锥外接球的表面积为_15已知正项等比数列的前n项和为，则_16等腰直角三角形，分别为边，上的动点，设，其中，且满足，分别是，的中点，则的最小值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作
5、业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”参考公式：，其中参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879第18题图18(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，（1）求的值；（2）判断是否为等腰三角形第19题图19(本题12分)如图所示，梯形中，平面平面，且四边形为矩形，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离20(本题12分)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为(1)求抛物线C的方程；(2)设直线，对任意的抛物线C上都存在四个点到直线
6、l的距离为，求的取值范围21(本题12分)设函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若存在满足，证明成立（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本题10分)在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)设直线与圆交于两点，求的值23(本题10分)已知函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：珠海市2019-2020学年度第二学期学业质量监测高三文科数学试题第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符
7、合题目要求的一项）1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D由，所以2已知复数在复平面上对应的点为，则( )A是实数 B是纯虚数C是实数 D是纯虚数【答案】由题意可知z1i, 所以zi是实数，故选C.3不等式的解集为（ ）ABCD或【答案】D不等式得解集或4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为（ ）A3.15B2.72C1.47D3.84【答案】B根据几何概型得2.725函数的零点个数为（ ）A1B2C3D4【答案】A由的零点转化为方程的根，由与的图象只有一个交点，可得只有一个零点6设，则（ ）ABCD【答案】A由
8、得7已知点和圆，过作的切线有两条，则的取值范围是( )A B C D【答案】D由得，则得，要使过作的切线有两条，则点在圆外，从而得，所以.8如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是（ ）A的面积始终不变B始终是等腰三角形C在面内的投影的面积先变小再变大D点到面的距离一直变大【答案】B的面积始终不变先变小再变大，不对；由于，始终是等腰三角形所以正确；在面内投影的面积不变，所以不对；点到面的距离先变大再变小，所以不对。9函数的图象可能是（）ABCD【答案】C函数为偶函数且，排除、，而，所以选10已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，过点作的垂线与轴交于点，若为
9、等腰直角三角形，则的面积为（ ）ABCD【答案】A取点为左焦点，在第一象限，如图可设，代入双曲线得解得：，得 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此类推1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立
10、共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为（ ）A己丑年B己酉年C丙寅年D甲寅年【答案】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则，则1949年的天干为己，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.12设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )ABCD【答案】A令，则，令，解得或，时有，时有，时有，可以描绘出的草图为过点的直线如图可知：当不成立当时，所以，得所第II卷（非选择题)二、填空
11、题（本大题共小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数在处的切线方程为_【答案】（方程其它形式均可得分）求导得，得，切点为所以14在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】由题意可知的中心就是圆心，可知算得，所以可得外接球的表面积为15已知正项等比数列的前n项和为，则_【答案】为等比数列，此时，16等腰直角三角形，分别为边，上的动点，设，其中，且满足，分别是，的中点，则的最小值为_【答案】本题如图建坐标系，得，又，可知点在单位圆上，所以最小的最小值为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，
12、每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246
13、.6357.879解（1）辅导不辅导合计男253560女15520合计404080-4分(答任意对个得2分)（2）在样本中有20位女士，其中有15位辅导孩子作业，其频率为所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为；-7分（3）-11分可知有99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” -12分第18题图18(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，.（1）求的值；（2）判断是否为等腰三角形解：（1）因为，所以-2分在中，由正弦定理得：，即： 解得-5分（2）在中因为，所以所以-7分-11分得，-11分所以梯形是为等腰梯形-12分第19题图19如图所示，梯形中，平面
14、平面，且四边形为矩形，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离解：（1）又平面平面，且平面平面，面面-2分又平面平面，-3分在，在中，-5分又，面面-6分(2)由(1)可知为，且， 作于，则由已知平面平面，且平面平面，-8分在中，-10分设点到平面的距离为，则，解得：所以点到平面的距离为-12分20已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线，对任意的，抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围解：(1)由题意可设：，则得，所以-2分(2)设与直线平行的直线，要满足题设条件“对任意的抛物线C上都有四个点到直线l的距离为”，则有当与抛物线相
15、切时，点到距离大于4恒成立，得：-5分得点到距离所以不等式恒成立， 代入得整理得：-9分得，求得-10分得 -11分所以-12分21设函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若存在满足，证明成立.解：解：（1）由得当时，从而得在上单调递增没有极值；-1分当时，得； 得； 得；在上单调递增，在上单调递减，此时有极小值-4分（2）由得：，从而得由(1)知当时，从而得在上单调递增，所以此时不成立-5分可知此时，由于的极小值点为，可设设-7分，仅当时取得“”所以在为单调递增函数且-9分当，时有，即又由，所以-11分又由(1)知在上单调递减，且，所以从而得证成立。-12分（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)设直线与圆交于两点，求的值解：（1）由得，2分从而有即：4分（2）由题意设直线的参数方程为即：5分代入圆的方程得7分整理得：，由且9分可知10分23已知函数.（1）解不等式；（2）当，时，证明：.解：（1）由得当时，得即：；2分当时，得即：；4分（2）由5分由绝对值不等式得7分又因为同号，所以8分由基本不等式得：9分所以10分