1、5从力做的功到向量的数量积Q水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容X1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的_夹角_，并规定夹角的范围是_0180_.当_0_时，a与b同向；当_180_时，a与b反向；当_90_时，a与b垂直，记作ab.规定：零向量可与任一向量_垂直_ .2向量的数量积(或内积)(1)定义：_|a|b|cos _叫作向量a和b的数量积，记作ab，即_ab_|
2、a|b|cos _.(2)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影_|b|cos _的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影_|a|cos _的乘积3向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：(1)若e是单位向量，则ea_ae_|a|cos _.(2)若ab，则_ab0_；反之，若_ab0_，则ab.通常记作ab_ab0_.(3)|a|_.(4)cos _(|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.当且仅当_ab_时等号成立4向量数量积的运算律给定向量a，b，c和实数，有以下结果：ab_ba_；(a)b_(ab)_a(b)_
3、；a(bc)_abac_.Y1若|a|3，|b|4，a，b的夹角为135，则ab(B)A3B6C6D12解析ab|a|b|cos 13534()6.2已知向量|a|10，|b|12，且ab60，则向量a与b的夹角为(B)A60B120C135D150解析设a与b的夹角为，则cos ，120.3已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则(D)Aa2Ba2Ca2Da2解析()()2|2|cos ABCa2a2cos 60a2.故选D4已知|a|3，|b|5，ab12，则a在b方向上的射影为_.解析设a与b的夹角为，则cos ，而a在b方向上的射影为|a|cos 3.H命题方向1向量数量积的定义及几
4、何意义典例1已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120.(1)求ab；(2)求a在b上的射影思路分析已知向量a，b的模及其夹角，求ab及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可解析(1)ab|a|b|cos 54cos 12010；(2)a在b上的射影为|a|cos .规律总结(1)数量积的符号同夹角的关系：若ab0为锐角或零角；若ab0或a与b至少有一个为0；若ab0为钝角或平角(2)求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求ab.跟踪练习1(1)在题设不变的
5、情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角120”换成“ab”，求ab.解析(1)b在a上的射影为|b|cos 2；(2)ab，a与b的夹角0或180.当0时，ab|a|b|cos 020.当180时，ab|a|b|cos 18020.命题方向2平面向量的数量积的运算律典例2已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(2ab)(a3b)思路分析根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可解析(1)ab|a|b|cos 12023()3.(2)(ab)(ab)a2ababb2a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a2
6、6abab3b22|a|25ab3|b|224533934.规律总结求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简跟踪练习2已知|a|3，|b|4，120(为a与b的夹角)，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(ab)(ab)；(4)(a2b)(3ab)分析将所给问题转化为数量积，并代入公式ab|a|b|cos 求解析(1)原式|a|b|cos 12cos 1206；(2)原式a2b2|a|2|b|29167；(3)原式a22abb2|a|2|b|2
7、2|a|b|cos 9162(6)13.(4)原式3a25ab2b23|a|22|b|25|a|b|cos 27325(6)25.命题方向3向量的夹角典例3已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|.求a与ab的夹角思路分析根据题中所给等式求出向量a与ab的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可解析|a|ab|，|a|2|ab|2|a|22ab|b|2.又|a|b|，ab|a|2，又|ab|a|，设a与ab的夹角为，则cos ，又0，即a与ab的夹角为.规律总结向量夹角公式cos a，b的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算从而保证计算结果准确无误跟踪练
8、习3若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为(C)A30B60C120D150解析(2ab)b0，2abb20.2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，cos ，即120，选C项命题方向4求向量的模典例4已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|、|ab|.解析解法一：由数量积公式|a|求解因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos 55cos ，所以|ab|5.同样可求|ab|5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD，使ABAD5，DAB，设a，b，如图所示，则|ab|5，|ab|2|255.规律总结(1)利用数量积求解长度问
9、题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：a2aa|a|2或|a|，|ab|.由关系式a2|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化因此欲求|ab|，可求(ab)(ab)，将此式展开(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了跟踪练习4已知|a|2，|b|6，a(ba)2，则|ab|的值为(B)A4B2C2D6解析a(ba)2，aba22.ab2a22|a|22226.|ab|2(ab)2a22abb2|a|22ab|b|222266228，|ab|2.X用向量数量积解决垂直问题典例5已知a，b是非零向量，为a，b的夹角，当|atb|(tR)取最小值时，(1)
10、求t的值；(2)已知a与b共线且同向，求证：b(atb)思路分析(1)将atb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b(atb)，只需证b(atb)0.解析(1)令m|atb|，则m2|a|22atbt2|b|2t2|b|22t|a|b|cos |a|2|b|22|a|2sin 2，所以当tcos 时，|atb|有最小值|a|sin .(2)证明：因为a与b共线且方向相同，故cos 1，所以t.故b(atb)abt|b|2|a|b|a|b|0，所以b(atb)规律总结本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识(1)中求解时利用向
11、量数量积的运算，将atb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b(atb)0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值本题主要考查转化与化归的思想方法跟踪练习5已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为120，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？分析利用cdcd0，构造关于k的方程组求解解析(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20.k52(2k1)54cos 1202420，k.即k为时，向量kab与向量a2b垂直Y未认清向量的夹角典例6ABC的三边长均为1，且a，b，c，求abbcca的值错解ABC的三边长均
12、为1，ABC60.又|a|b|c|1，ab|a|b|cos Ccos 60.同理bcca，原式.辨析错误的原因在于认为a与b的夹角为C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是0，180，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制正解ABC的三边长均为1，C60，a与b的夹角为180C120，ab|a|b|cos 12011().同理bcca，原式.规律总结在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角跟踪练习6若向量abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，求abbcca的值思路分析先由已知条件分析出a，b，c的
13、位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算也可用整体处理法解决解析方法一：由已知得|c|a|b|，cab，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，所以有abbcca3cos 04cos 18012cos 180341213.方法二：(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbcca13.K1若acbc(c0)，则(D)AabBabC|a|b|Da在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等解析设a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，acbc，|a|c|cos 1|b|c|cos 2，即|a|cos 1|b|cos 2，故选D2下列命题正确的是(D)A|ab|a|b|Bab0|a|b|0Cab0|a|b|0D(ab)cacbc解析选项D是分配律，正确，A、B、C不正确3(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为(B)ABCD解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cos a，b.0a，b，a与b的夹角为.故选B