1、第2课时正弦、余弦函数的图象与性质学 习 任 务核 心 素 养1掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间(重点、易错点)1通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养2借助函数图象，培养直观想象素养.回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数ysin的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心知识点正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR图象定义域RR值域1,11,1最值
2、当x2k(kZ)时，取得最大值1；当x2k(kZ)时，取得最小值1当x2k(kZ)时，取得最大值1；当x2k(kZ)时，取得最小值1周期性周期函数，T2周期函数，T2奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称单调性在(kZ)上是增函数；在(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，(2k1)(kZ)上是减函数对称性关于xk(kZ)成轴对称，关于(k，0)(kZ)成中心对称关于xk(kZ)成轴对称，关于(kZ)成中心对称1.正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？提示不正确正弦函数在每个闭区间(kZ)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函
3、数，同样的，余弦函数在每个闭区间2k，2k(kZ)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数2.ysin x和ycos x在区间(m，n)(其中0mn0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAsin z的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x)(A0，0)的函数的单调区间同上跟进训练1求下列函数的单调递增区间：(1)ycos 2x；(2)ysin，x.解(1)由2k2x2k(kZ)，所以kxk(kZ)，所以函数ycos 2x的单调递增区间为(kZ)(2)因为ysin sin ，所以函数ysin 的单调递增区间就是函数ysin 的单调
4、递减区间，由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.因为x，所以所求函数的单调递增区间为. 类型2比较三角函数值的大小【例2】用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 194与cos 160；(2)cos ，sin ，cos ；(3)sin与sin.解(1)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(9070)sin 70.0147090，函数ysin x在区间(0，90)内是增函数，sin 14sin 70，sin 194cos 160.(2)sin cos，cos cos，0coscos ，即cos sin cos .(3)cos cossin .0，函
5、数ysin x在内是增函数，sin sin ，cos sin .而0cos sin 1，函数ysin x在(0,1)内是增函数，sinsin.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小跟进训练2比较大小：(1)cos 与cos ；(2)sin 与cos .解(1)cos cos cos cos ，而cos cos ，0cos .cos cos ，cos cos .(2)cos sin ，sin cos ，即sin cos . 类型3与三角函数有关的值域问题【例3】(1)求函数y2sin的最大值和最小值；(2)求
6、函数y2cos2x2sin x3，x的值域解(1)x，02x，0sin1，当sin1时，取得最大值2；当sin0时，取得最小值0.(2)y2(1sin2x)2sin x32sin2x2sin x122.x，sin x1.当sin x1时，取得最大值5；当sin x时，取得最小值.函数y2cos2x2sin x3的值域为.1(变条件)将本例(1)中“x”改为“x”，求y2sin的最值解x，2x，sin1，当sin1时，取得最大值2，当sin时，取得最小值.2(变条件)本例(2)中“y2cos2x2sin x3改为y2cos2x2cos x3”，其它条件不变，求值域解y22，x，cos x.当co
7、s x时，取得最大值.当cos x时，取得最小值.1求形如yAsin xB或yAcos xB型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间2求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性跟进训练3求下列函数的值域(1)ycos ，x；(2)ycos2 x4cos x5.解(1)由ycos ，x可得x，因为函数ycos x在区
8、间上单调递减，所以函数的值域为.(2)ycos2 x4cos x5，令tcos x，则1t1.yt24t5(t2)21，当t1，函数取得最大值10；t1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为2,101函数ycos x在区间上是()A增函数B减函数C先减后增函数 D先增后减函数C因为ycos x在区间上先增后减，所以ycos x在区间上先减后增2正弦函数ysin x，xR的图象的一条对称轴是()Ay轴 Bx轴C直线x D直线xC当x时，y取最大值，x是一条对称轴3函数ysin的单调递增区间是_(kZ)令2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)4将cos 150，sin 470，cos 760按从小到
9、大排列为_cos 150cos 760sin 470cos 1500，sin 470sin 110cos 200，cos 760cos 400且cos 20cos 40，所以cos 150cos 760sin 470.5函数y2cos ，x，函数的最小正周期为_，值域为_1,2由T知T即函数最小正周期为.x，2x，cos，函数的值域为.回顾本节知识，自我完成以下问题1如何求函数ysin x，x上的值域？提示借助函数ysin x在上的单调性求解2函数yAsin(x)B，xR的最大值为AB吗？提示不一定A0时最大值为AB，A0时最大值应为BA.3如何比较三角函数值的大小？提示若函数名称相同，直接利用诱导公式化到同一个单调区间上利用函数单调性比较若函数名称不同，应先化为同名三角函数再化到同一单调区间最后比较大小4求函数单调区间时若x的系数为负，应怎样处理？提示利用诱导公式将x的系数化为正再求单调区间
