1、10.4二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰
2、好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当=0,=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间a,b的概率为P(aXb),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间a,b的概率.(3)特点曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限
3、接近x轴.曲线与x轴之间的区域的面积为1.曲线是单峰的,它关于直线x=对称.曲线在x=处达到峰值(最大值)12.当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移.当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.表示方法:记为XN(,2).标准正态分布:当=0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3原则假设XN(,2),可以证明:对给定的kN*,P(-kX+k)是一个只与k有关的定值.特别地
4、,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-,+),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间-3,+3内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3中的值,这在统计学中称为3原则.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4
5、名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()(3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.()(5)二项分布是一个用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.()2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,下列概率中等于C64C96C1510的是()A.P(X=4)B.P(X4)C.
6、P(X=6)D.P(X6)3.若随机变量X服从二项分布B4,23,则()A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3)D.P(X=3)=4P(X=1)4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=.5.若随机变量XN(,2),且P(X5)=P(X-1)=0.2,则P(2X5)=.关键能力学案突破考点二项分布及其应用【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:质量/g5,15)15,25)25,
7、35)35,45)45,55数量4121185(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,
8、现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求的分布列.考点超几何分布【例2】(2020北京人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.性别套数12345男生14322女生01331(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率;(2)
9、若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地
10、抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列.考点正态分布及其应用(多考向探究)考向1正态分布的概率计算【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X4)=0.158 7,则P(2X0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此
11、次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于-,+,-2,+2,-3,+3中的哪一个.对点训练3(1)(2020河北开滦高三检测)已知随机变量XN(7,4),且P(5X9)=a,P(3X11)=b,则P(3Xc)=P(c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,
12、检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3,+3之外的零件数,求P(X1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在-3,+3之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得