1、第2课时函数的最大值、最小值学 习 任 务核 心 素 养1理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义(重点)2会求一些简单函数的最大值或最小值(重点、难点)1借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养2利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.在下图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在024时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高从图中可以看出：对于任意的x0,24，都有f(x)与f(14)具有怎样的关系？知识点函数的最大值与最小值(1)函数的最大值一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0
2、)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)(2)函数的最小值一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)函数的最值与值域是一回事吗？提示不是最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x21总成立，故f(x)的最大值为1.()(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)M成立，则f(x)的最大值为M.()(3)函数f(x)x的最大值为.()(4)函数f(x)在a，b上的最值一定
3、是f(a)(或f(b)()答案(1)(2)(3)(4) 类型1利用图象求函数的最值【例1】已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)f(1)1.当x0时，f(x)取最小值为f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.图象法求函数最值的一般步骤跟进训练1已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域解y|x1|2图象如图所示，由图象知，函数y|x1|2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(，2 类型2利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x).(1)用函数单调性定义证明f(x)在(1，
4、)上是单调减函数；(2)求函数f(x)在区间3,4上的最大值与最小值解(1)证明：设x1，x2为区间(1，)上的任意两个实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x110，x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(1，)上为单调递减函数(2)由上述(1)可知，函数f(x)在3,4上为单调递减函数，所以在x3时，函数f(x)取得最大值；在x4时，函数f(x)取得最小值.(变条件)求函数f(x)在4，3上的最值解任取x1，x24，3且x1x2，则f(x1)f(x2).x1，x24，3，x110，x210.又x10，f(x1)f(x2)0，f(x1
5、)f(x2)，f(x)在4，3上单调递减，f(x)maxf(4)，f(x)minf(3)，f(x)在4，3上最大值为，最小值为.1当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值2函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值跟进训练2已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2,4上的最大
6、值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为增函数(2)由(1)知f(x)在2,4上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)，最大值f(4). 类型3二次函数的最值【例3】求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值二次函数f(x)的对称轴在区间2,4可能存在几种位置关系？提示对称轴在2,4的左侧即a4.解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(
7、a)2a2.f(x)min1在本例条件下，求f(x)的最大值解函数图象的对称轴是xa，当a3时，f(x)maxf(4)188a，当a3时，f(x)maxf(2)64a.f(x)max2在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值解由本例解析知f(x)min当a4时，188a2，a2(舍去)a的值为1.求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或
8、对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论跟进训练3若f(x)x22ax2，当x2,4时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解在2,4内，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4内恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max(1)当a3时，a188a，解得a2，此时有2a3.(2)当a3时，a64a，解得a，此时有a3.综上有实数a的取值范围是2，)1函数yx22x2在区间2,3上的最大值、最小值分别是()A10,5B10,1C5,1D以上都不对B因为yx22x2(x1)21，且x2,3，所以当x1时，ymin1，当x2时，ymax(21)2110.故选B.2函数yx1在区间上的最大值是
9、()A0BCD1C函数yx1在区间上是减函数，f(x)maxf 1.3(多选题)已知函数f(x)有最小值，则实数a的值可能为()A2B4C6D8BCD由题意知，当x0时，函数f(x)x24，当且仅当x2时取等号；当x a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a4, 即实数a的最小值为4.4函数yx22x1在闭区间0,3上的最大值与最小值的和是_0yx22x1(x1)22，函数的对称轴为x1，函数在区间0,1上为减函数，在区间1,3上为增函数当x1时，函数取最小值2，当x3时，函数取最大值2，最大值与最小值的和为0.5已知函数f(x)则f(x)的最大值为_，单调减区间为_21,0f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)2.单调减区间为1,0回顾本节知识，自我完成以下问题1怎样理解函数的最值？提示存在在给定区间上所有函数值中最大(小)在函数图象上有最高或最低点2求函数的最值有哪些常用方法？提示图象法、单调性法，对于二次函数还可用配方法3本节内容渗透了哪些数学思想？提示数形结合思想，分类讨论思想