1、3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程学 习 任 务核 心 素 养1理解函数零点的概念(重点)2能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养.函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？a0a000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根二次函数yax2bxc(a0)的零点知识点1二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数yax2bxc (a0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数yax2bxc (a0)的
2、图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数yax2bxc (a0)的零点二次函数一定有零点吗？提示当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)二次函数yx2的零点为(0,0)()(2)当0时，二次函数有两个相同的零点()(3)二次函数yax2bxc中，ac0时，一元二次方程ax2bxc0的根、二次函数yax2bxc的图象、二次函数yax2bxc的零点之间的关系如下表所示：判别式b24ac000)的根有两个相异的实数根x1,2有两
3、个相等的实数根x1,2没有实数根二次函数yax2bxc (a0)的图象二次函数yax2bxc (a0)的零点有两个零点x1,2有一个零点x无零点 2.二次函数yx22x1的零点为()A1B2 C1D2C令y0得，x22x10，解得x1，二次函数yx22x1的零点为1. 类型1求函数的零点【例1】求下列函数的零点(1)y3x22x1；(2) yax2xa1(aR)；(3) yax2bxc, 其图象如图所示思路点拨(1)直接解出相应方程的根(2)对于二次项的系数a分a0，a0两类进行讨论，当a0时，还要比较两根的大小(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标解(1)由3x22x10解得x
4、11，x2，所以函数y3x22x1的零点为1和.(2)()当a0时，yx1，由x10得x1，所以函数的零点为1.()当a0时，由ax2xa10得(axa1)(x1)0，解得x1，x21.又(1)，当a时，x1x21，函数有唯一的零点1.当a且a0时，x1x2，函数有两个零点1和.综上：当a0或时，函数的零点为1.当a且a0时，函数有两个零点1和.(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为1和3，所以该函数的零点为1和3.1求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点2函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点3求含有参数的函数yax2bxc的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中
5、含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数若可以因式分解，则一定存在零点(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等跟进训练1求下列函数的零点(1)y2x23x2；(2)yax2x1；(3)yax2bxc, 其图象如图所示解(1)由2x23x20解得x12，x2，所以函数y2x23x2的零点为2和.(2)()当a0时，yx1，由x10得x1，所以函数的零点为1.()当a0时，由ax2x10得14a，当0，即a0，即a时，由ax2x10得x1,2，函数有两个零点和.综上：当a0时，函数的零点为1；
6、当a时，函数的零点为2；当a时，函数有两个零点和；当a2，求证： 函数y (a2)x22(a2)x4有两个零点思路点拨要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a2)x22(a2)x40有两个不相等实数根证明考察一元二次方程(a2)x22(a2)x40，因为4(a2)216(a2)4(a2)(a2)，又a2，所以0，所以函数y (a2)x22(a2)x4有两个零点求函数y (a2)x22(a2)x4有零点的充要条件解(必要性)因为函数y (a2)x22(a2)x4有零点，当a2时，方程(a2)x22(a2)x40无解函数无零点；当a2时，因为函数y (a2)x22(a2)x4有零点，所以
7、方程(a2)x22(a2)x40有实数根所以4(a2)216(a2)4(a2)(a2)0，即 或 解得a2或a2，又a2，所以a2或a2，所以函数y (a2)x22(a2)x4有零点，则a2或a2.(充分性)当a2或a2时，对于方程(a2)x22(a2)x40，4(a2)216(a2)4(a2)(a2)0，所以函数y (a2)x22(a2)x4有零点综上，函数y (a2)x22(a2)x4有零点的充要条件是a2或a2.二次函数yax2bxc(a0)的零点的论证对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac.(1)0 函数yax2bxc(a0)有两个零点(2)0 函数yax2bxc
8、(a0)有一个零点(3)0，函数yax2xa有两个零点综上，函数yax2xa(aR)有零点 类型3二次函数的零点分布探究【例3】(1)判断二次函数yx22x1在(3，2)是否存在零点； (2)若二次函数y(a2)x22(a2)x4(a2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围思路点拨(1)直接求出函数的零点，再加以判定(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究解(1) 由x22x10得x11，x21，因为312，所以二次函数yx22x1在(3，2)存在零点(2)因为函数y (a2)x22(a2)x4的两个零点均为正数，所以(a2)x22(a2)x40有两个不相等的正实数根显然a
9、2.由一元二次方程的根与系数的关系得 即所以a2.即实数a的取值范围(，2)1二次函数yax2bxc(a0)的零点的分布探究结合一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac和根与系数的关系处理(1) 函数yax2bxc(a0)有两个正零点(2) 函数yax2bxc(a0)有两个负零点(3) x1x20 函数yax2bxc(a0)有两个异号零点2二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便跟进训练3已知函数yx2xa2a(aR)(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围解法一：由x2xa2a0得x1a，x21
10、a.(1)因为该函数有两个正的零点，所以 解得0a或a1，所以a的取值范围是0a或a1或a1或a0.法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2xa2a0，所以 解得0a或a1，所以a的取值范围是0a或a1.(2) 方程x2xa2a0中，14(a2a)(2a1)20，设其两实数根分别为x1，x2，则 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，所以(x11)(x21)0，即x1x2(x1x2)10，所以(a2a)111或a1或a0. 1函数yx24x5的零点为()A5和1 B(5,0)和(1,0)C5D1A由x24x50得x15或x21.2(多选题)已知函数y2axa3在(
11、1,1)上有零点，则实数a的取值可能是()A4B2C3D1ABC当a0时，y3无零点当a0时，由2axa30得x，所以10时，2aa31，当aa32a，解得a0，所以函数零点的个数为2.4二次函数yx22x8在区间(1,3)内的零点为_2方程x22x80的两个根为x12，x24.因此二次函数yx22x8在区间(1,3)内的零点为2.5函数yx22x1的零点在区间(n，n1)(nZ)，则n的取值集合为_3,0由x22x10解得x11，x21，因为1(3，2)，1(0,1)，所以n的取值集合为3,0回顾本节知识，自我完成以下问题1求函数零点的方法是什么？你是如何求函数零点的？提示(1)观察图象看图象与x轴交点的横坐标(2)解相应地方程，方程的解即为函数的零点(3)含参函数的零点求解需分类讨论根据相应地方程来求解零点为常用方法2怎样判定二次函数零点的个数提示论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系3怎样研究二次函数零点的分布？提示研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解