1、3.1不等式的基本性质学 习 任 务核 心 素 养1结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质(重点)2会用不等式的性质证明(解)不等式(重点)3会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围(难点)1通过大小比较，培养逻辑推理素养2通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养3借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中ab)你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜如果让你先取，你有必胜的把握吗？知识点1不等式(1)不等式的定义用数学符号“”“b或ab，等价
2、于“a不小于b”，即若ab或ab中有一个正确，则ab正确不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不大于b”，即若ab；即ab0ab；如果ab等于0，那么ab；即ab0ab；如果ab是负数，那么ab；即 ab0abab2x2(x2x1)x2x120，ab.知识点2不等式的基本性质性质1: 若ab，则bbbb，bc，则ac；(传递性)性质3：若ab，则acbc；(加法保号性)性质4：若ab，c0，则acbc；(乘正保号性)若ab，c0，则acb，cd，则acbd；(同向可加性)性质6：若ab0，cd0，则acbd；(全正可乘性)性质7：如果ab0，那么anbn(nN*)
3、(拓展)不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件(2)要注意每条性质是否具有可逆性2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若acbc，则ab.()(2)若ac bd，则ab，cd.()(3)若ab，则b，则ac2bc2；若ababb2；若ab，则a2b2；若ab.其中正确命题的序号是_(2)求解关于x的不等式ax10(aR)，并用不等式的性质说明理由(1)对于，c20，只有c0时才成立，不正确；对于，abab；abb2，正确；对于，若0ab，则a22，但(1)2(2)
4、2，不正确；对于，abb0，(a)2(b)2，即a2b2.又ab0，0，a2b2，正确所以正确答案的序号是.(2)解不等式ax10(aR)两边同时加上1得ax1(不等式性质3)，当a0时，不等式为01恒成立，所以xR，当a0时，不等式两边同时除以a得x(不等式性质4)，当a0时，不等式两边同时除以a得x0时，不等式的解集为，当a0的解集为x|x0的解集为_因为关于x的不等式axb0的解集为x|x2，所以a0得2axa0，因为a，即不等式bxa0的解集为. 类型2利用不等式的性质比较代数式的大小【例2】已知x1，比较3x3与3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x
5、1)(x1)(3x21)(x1)x1，得x10.而3x210，(3x21)(x1)0.3x33x2x1.1将本例中“x1”改为“xR”，再比较3x3与3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)(3x21)(x1)，3x210，当x1时，x10，3x33x2x1.当x1时，x10，3x33x2x1.当x1时，x10，3x30, b 0, 比较与的大小解法一：(作差法)，因为a 0, b 0，所以0，所以.法二：(作商法)因为a 0, b 0，所以与同为正数，所以，所以10，即1，因为0，所以.法三：(综合法)因为a 0, b 0，所以ab0，所以(ab)21，所以.1作差法比
6、较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；分类讨论2作商法比较大小的三个步骤(1)作商变形；(2)与1比较大小；(3)得出结论提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数3综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：AB0A1.跟进训练3已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBacbCcbaDacbAcb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a120，ba，cba.故选A.4已知a，bR，试
7、比较a2ab与3ab4b2的大小解因为a，bR，所以(a2ab)(3ab4b2)a24ab4b2(a2b)2，当a2b时，a2ab 3ab4b2，当a2b时，a2ab 3ab4b2. 类型3证明不等式【例3】若ab0，cd0，e.思路点拨可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果证明cdd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以，得.又e.本例条件不变的情况下，求证： .证明cdd0.ab0，acbd0，0，又e.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的
8、性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则跟进训练5已知cab0，求证：.证明cab0.ca0，cb0. 0，cb0，. 类型4利用不等式求取值范围【例4】已知1a4,2b8.试求2a3b与ab的取值范围思路点拨欲求ab的范围，应先求b的范围，再利用不等式的性质求解解1a4,2b8，22a8,63b24，82a3b32.2b8，8b2，又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2，故82a3b32，7ab2.即2a3b的取值范围为(8,32)，ab的取值范围为(7,2)1在本例条件
9、下，求 的取值范围解2b8，又1a4，2. 即 的取值范围为.2若本例改为：已知1ab5，1ab3，求3a2b的范围解法一：设xab，yab，则a，b，1x5，1y3，3a2bxy.又x，y，2xy10.即23a2b10.所以3a2b的范围是2,10法二：设3a2bm(ab)n(ab)(mn)a(mn)b3a2b，所以解得即3a2b(ab)(ab)，因为1ab5，1ab3，所以(ab)，(ab)，所以2(ab)(ab)10，即3a2b的范围是2,101同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性2已知两个二元一次代数
10、式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式跟进训练6已知，求，的取值范围解已知.，两式相加得.，.，又知，0，0.7已知4ac1，14ac5，求9ac的取值范围解令得9acyx，4x1，x，1y5，y，和相加，得1yx20，19ac20.1已知a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则D若a2b2，则abB选项A，若a4，b2，c5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D只有ab0时才可以，否则如a1，b0时不成
11、立，故选B.2设a3x2x1，b2x2x，则()AabBabCabDabCab(3x2x1)(2x2x)x22x1(x1)20，ab.3若11，则的取值范围为_(2,0)由11，11，得11.所以22，但，故知20.4已知角，满足，0，则3的取值范围是_(，2)结合题意可知32()()，且2()(，)，(0，)，利用不等式的性质可知3的取值范围是(，2)5已知12a60,15b36.则ab的取值范围为_，的取值范围为_(24,45)15b36，36b15，又12a60，1236ab6015，即24ab45，.4.回顾本节知识，自我完成以下问题1两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？提示大于、小于、等于作差法、作商法2作差法比较大小的具体步骤有哪些？提示作差、变形、定号3不等式的证明有哪些方法？提示可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)
