1、第七节定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义1定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx f(i)在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几
2、何意义图形阴影部分面积Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)函数f(
3、x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)的图象，直线xa，直线xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()答案(1)(2)(3)二、教材改编1已知质点的速率v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是()A10tB5tC.t D.tBSvdt10tdt5t2|5t.2.dx_1dxln(x1)|ln eln 11.3.dx
4、_dx表示由直线x0，x1，y0以及曲线y所围成的图形的面积，dx.4曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1，1)故所求面积为S(xx2)dx.考点1定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和1.计算dx的值为()A.B.ln 2C.ln 2 D3ln 2Bdx|2ln 2ln 2.故选B.2.(sin xcos x)dx_2(sin
5、xcos x)dx(cos xsin x)|112.3.|x1|dx_|x1|dx(1x)dx|1.运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错考点2定积分的几何意义(1)根据题意画出图形(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和(4)计算定积分，写出答案利用定积分的几何意义计算定积分(1)计算：dx_(2)若dx，则
6、m_(1)(2)1(1)由定积分的几何意义知，dx表示圆(x1)2y24和x1，x3，y0围成的图形的面积，dx4.(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x1)2y21和直线x2，xm和y0围成的图形的面积，又dx为四分之一圆的面积，结合图形知m1.正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键求平面图形的面积由曲线xy1，直线yx，y3所围成的封闭平面图形的面积为_4ln 3由xy1，y3，可得A(，3)由xy1，yx，可得B(1，1)，由yx，y3，得C(3，3)，由曲线xy1，直线yx，y3所围成图形的面积为 逆向问题已知曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为，则k_
7、2由得或则曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dx|k3，即k38，所以k2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论1.曲线yx2，y与x轴所围成的面积为_如图所示，由y及yx2可得交点横坐标为x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx(x2)dxx|.2.如图所示，由抛物线yx24x3及其在点A(0，3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积为_由yx24x3，得y2x4，y|x04，y|x32，抛物线在A点处的切线方程为y4x3，在B点处的切线方程为y2x6，联立方
8、程解得两切线交点的横坐标为，考点3定积分在物理中的应用定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa运动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移
9、单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为()A. J B. JC. J D2 J(1)C(2)C(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，在此期间行驶的距离为v(t)dtdt|425ln 5.(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30，故F(x)做的功为W(5x2)cos 30dx(5x2)dx(5xx3)|.(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算(2)如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.物体A以速度v3t21(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是_m.130设A追上B时，所用的时间为t0，则SASB5，即(3t21)dt(10t)dt5，(t3t)|5t5，tt05(t1)，即t05，SA5t55525130(m)